Considere uma variável aleatória !$ Y_n !$ com média zero e variância 1, e uma função real g, tal que o valor esperado de !$ g(Y_n) !$ possa ser escrito como

!$ E[g(Y_n)] = g(0) + { \large g^{ \prime}(0) \over 2} + O (n^{-3/2}) !$,

em que !$ g^{ \prime}(0) !$ representa o valor da primeira derivada da função g no ponto zero, e !$ n\,\in\, \left \{ 1,2,3, \cdots \right \} !$. Com relação à notação assintótica big O, julgue o próximo item.

!$ O(n^{-3/2}) !$ significa que existe uma constante real : tal que !$ n^{3/2} O \left( n^{-{ \large 3 \over 2}} \right) < c !$ para todo !$ n\,\in\, \left \{ 1,2,3, \cdots \right \} !$.

Considerando que uma amostra aleatória simples !$ X_0, X_1 \cdots, X_n !$ seja retirada de uma distribuição com média !$ \mu !$ e variância !$ \sigma^2 !$com respeito à soma ponderada

!$ S_n = \sum_{K = 0}^n \phi^K X_K !$,

na qual !$ | \phi| < 1 !$ , julgue o item que se segue.

Com base no teorema do limite central, é correto concluir que a variável padronizada

!$ { \large S_n - E[S_n] \over \sqrt{Var[s_n]}} !$

converge em distribuição para uma distribuição normal padrão quando !$ n \rightarrow + \infty !$

Considerando que uma amostra aleatória simples !$ X_0, X_1 \cdots, X_n !$ seja retirada de uma distribuição com média !$ \mu !$ e variância !$ \sigma^2 !$com respeito à soma ponderada

!$ S_n = \sum_{K = 0}^n \phi^K X_K !$,

na qual !$ | \phi| < 1 !$ , julgue o item que se segue.

Se a soma for representada na forma !$ S_n = S_{n-1} + \phi^n X_n !$, em que !$ n \ge 1 !$, então a correlação de Pearson entre !$ S_{n _1} !$ e !$ X_n !$ será igual a !$ \phi^n !$.

Considere três campos de exploração de petróleo, A, B e C, e v = (n_A, n_B, n_C ) como um vetor em que as 3 coordenadas representam, respectivamente, as quantidades de poços de extração nesses campos. Suponha, ainda, que os vetores na tabela a seguir representem as respectivas médias diárias de barris extraídos por poço em cada um dos campos nos 3 primeiros meses de 2021.

Com relação a essa situação hipotética, julgue o item a seguir.

O produto vetorial entre os vetores u₁ – u3 e u₂ é um vetor perpendicular ao vetor w = (2, 2, 1).

Considere três campos de exploração de petróleo, A, B e C, e v = (n_A, n_B, n_C ) como um vetor em que as 3 coordenadas representam, respectivamente, as quantidades de poços de extração nesses campos. Suponha, ainda, que os vetores na tabela a seguir representem as respectivas médias diárias de barris extraídos por poço em cada um dos campos nos 3 primeiros meses de 2021.

Com relação a essa situação hipotética, julgue o item a seguir.

Se o produto escalar entre v e u1 é igual a 100, então os três campos, juntos, possuem menos de 25 poços para extração de petróleo.

No que concerne à teoria de funções deriváveis de duas variáveis reais, julgue o item seguinte.

Se P(x,y) = x³/y² representa o consumo de gasolina em uma cidade em função do preço y e da quantidade x de veículos da cidade, a taxa instantânea de variação do consumo quando y varia e x é mantido fixo é igual a x³/2y.

Para lidar numericamente com os dados categóricos, uma codificação binária proporciona uma conversão de cada categoria de resposta para uma sequência de dígitos binários, em que cada dígito binário representa uma variável numérica que assume valores 0 ou 1. Na situação em tela, uma possível codificação binária é exemplificada na tabela abaixo.

Com respeito a análise de componentes principais, mistura de gaussianas e agrupamento k-means, julgue o item que se segue.

Considere que, em uma análise de agrupamentos por meio de mistura de gaussianas, três distribuições normais com médias !$ \mu_1,\mu_2 !$!$ \mu_3 !$ e se referem, respectivamente, aos clusters 1, 2 e 3. Nessa situação, pelo modelo de mistura de gaussianas, o cluster 1 é constituído pelas observações mais próximas da média !$ \mu_1 !$.

Em um processo em que se utiliza a ciência de dados, o número de variáveis necessárias para a realização da investigação de um fenômeno é direta e simplesmente igual ao número de variáveis utilizadas para mensurar as respectivas características desejadas; entretanto, é diferente o procedimento para determinar o número de variáveis explicativas, cujos dados estejam em escalas qualitativas.

Considerando esse aspecto dos modelos de regressão, julgue o item a seguir.

Para evitar um erro de ponderação arbitrária, deve-se recorrer ao artifício de uso de variáveis dummy, o que permitirá a estratificação da amostra da maneira que for definido um determinado critério, evento ou atributo, para então serem inseridas no modelo em análise; isso permitirá o estudo da relação entre o comportamento de determinada variável explicativa qualitativa e o fenômeno em questão, representado pela variável dependente.

A respeito das ideias, dos sentidos e aspectos linguísticos do texto precedente, julgue o item que se segue.

O fato de que alguns animais, como chimpanzés, também utilizam ferramentas enfraquece o argumento de que se requer linguagem para usar ferramentas.