Um balde em forma de tronco de cone, com altura de 1 m, raio do fundo de 0,3 m e raio do topo de 0,6 m, está sendo preenchido com água a urna taxa constante de 5 m³/min. A água mantém a forma do tronco de cone enquanto enche o balde. A que taxa, aproximadamente, a altura da água está aumentando no instante em que ela atinge 0,5 m de altura?

Em uma missão de logística transatlântica, a equipe de engenharia do cargueiro Atlântis VI, da Marinha Mercante Brasileira, foi encarregada de simular o desempenho do navio em diferentes condições climáticas e de carga. O objetivo era prever o comportamento do sistema de propulsão do navio ao atravessar uma região turbulenta do oceano Atlântico, conhecida por seus redemoinhos e correntes contrárias.

Durante os testes, os engenheiros perceberam que a força de propulsão líquida, ou seja, a força efetiva que impulsiona o navio para frente, descontadas as forças de resistência da água, variava com o tempo de forma não linear. Eles modelaram essa variação utilizando uma função matemática que relacionava o tempo x, a carga embarcada e à resistência hidrodinâmica do casco. Após vários ajustes, chegaram à seguinte expressão:

\( \left ( 2x - { \large 3 \over x^2}\right)^9 \)

Essa expressão representa a variação da força de propulsão líquida em função do tempo x, medida em unidades padronizadas ao longo da travessia.

Sabendo que o termo independente de x ( aquele que representa um valor constante da força, sem depender diretamente do tempo) é essencial para avaliar a estabilidade média do navio durante a travessia, os engenheiros solicitaram seu cálculo.

Com base nesse modelo, qual é o valor do termo independente de x na expansão da expressão acima?

Durante uma missão de patrulhamento marítimo, dois navios da Marinha do Brasil - o Navio Garnier Sampaio e o Navio Bocaina - estão navegando em rotas definidas no espaço tridimensional, considerando latitude, longitude e altitude (devido a sensores atmosféricos a bordo).

A trajetória do Navio Garnier Sampaio está descrita por uma reta r, dada na forma vetorial:

\( r: X = (1,2,-1)+t(2,-1,4), t ∈ R \)

O Navio Bocaina, por outro lado, reportou sua posição atual como sendo o ponto: P=(5,3,2) Com base nas informações acima, responda:

Qual é a distância entre o Navio Bocaina (ponto P) e a rota do Navio Garnier Sampaio (reta r)?

A Escola de Formação de Oficiais da Marinha Mercante (EFOMM) decidiu modernizar sua frota de navios de instrução e colocou à venda o Navio Sirius, cujo valor à vista é de R$ 150.000.000,00. Uma empresa de transporte marítimo, a "Rotas Navegáveis", tem a opção de dar uma entrada de R$ 65.000.000,00 e parcelar o restante em sete prestações dispostas em uma progressão geométrica. Ao fechar o negócio, a empresa foi informada de que a terceira parcela seria de R$ 9.600.000,00 e a quinta parcela seria de R$ 1.536.000,00.

Quanto a empresa "Rotas Navegáveis" terá de desembolsar no total para adquirir o Navio Sirius?

Durante uma aula de Navegação na EFOMM, o professor apresenta aos alunos um desafio matemático baseado em precisão de medições com instrumentos náuticos. Um aluno usa um divisor para medir um segmento de 9 milhas náuticas representado em uma carta náutica. Ele decide fazer um exercício de precisão:

Divide esse segmento em 3 partes iguais e remove a parte central;

Com os dois segmentos restantes, repete o mesmo processo, retirando novamente suas partes centrais; e Esse processo se repete indefinidamente com os novos segmentos restantes. Com base nesse processo, qual será a soma total das distâncias retiradas após infinitas repetições?

Durante uma aula de Matemática, o professor propôs um desafio aos alunos: construir uma matriz quadrada A de ordem 4 a partir de diferentes progressões numéricas, com o objetivo de compreender melhor os conceitos de determinante e invertibilidade de matrizes.

Além disso, o professor ressaltou a importância de ferramentas matemáticas como o Teorema de Laplace, que permite o cálculo do determinante de matrizes de ordem superior a 2 por meio da expansão por cofatores. Essa técnica é especialmente útil quando outras abordagens (como transformações elementares) se tomam trabalhosas ou inviáveis. O teorema permite escolher uma linha ou coluna estratégica para facilitar os cálculos, tornando-o uma ferramenta poderosa no estudo da Álgebra Linear.

Para o exercício, os alunos devem montar a matriz A, obedecendo às seguintes regras:

• A 1ª linha da matriz deve ser uma progressão aritmética (PA) de razão 5, cujo primeiro termo é 2.

• A 2ª linha deve ser formada por uma progressão geométrica (PG) de razão 3, cujo primeiro termo é 1.

• A 3ª linha deve seguir uma progressão aritmética (PA) de razão 7, com termo inicial igual a 4.

• A 4ª linha deve conter uma progressão geométrica (PG) de razão 2, iniciando com o termo 3.

Com base nas informações acima, monte todos os elementos da matriz A, utilizando as propriedades das progressões indicadas. Usando o Teorema de Laplace, ou outro método de sua preferência, calcule o determinante com valor absoluto da matriz A.

Calcule \( \int_{0}^{1} (\int_{2}^{4} t^3 \cos x \, dt) dx \).

Em \( P_3(\mathbb{R}) \), considere o produto interno \( \langle f(t), g(t) \rangle = \int_{0}^{1} f(t)g(t) dt \). Determine \( a \in \mathbb{R} \) para que \( f(t) = at^2 + 1 \) e \( g(t) = t - 2 \) sejam ortogonais.

Dados três vetores \( \vec{u}, \vec{v} \text{ e } \vec{w} \) do \( \mathbb{R}^3 \), o produto misto \( \vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w}) = [\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}] \) é:

A área limitada pela curva dada em coordenadas polares \( r = 2 + 2 \cos \theta \) é: