Em problemas de contagem, uma das operações mais importantes é o fatorial, representado por n!. O fatorial de um número natural n é definido como o produto de todos os números naturais positivos menores ou iguais a n, ou seja:

n! = n × (n − 1) × (n − 2) × … × 3 × 2 × 1

Por exemplo, 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120.

Qual o menor valor de n, para que n! seja múltiplo de 100?

Durante um projeto de automação em uma indústria têxtil, dois motores elétricos, denominados Motor A e Motor B, foram ajustados para operar em frequências distintas, porém harmonicamente relacionadas. O engenheiro responsável observou que, ao dividir a rotação do Motor A por 4 e a do Motor B por 6, obtinham-se valores exatamente iguais, o que indicava uma proporção equilibrada entre seus desempenhos. Buscando otimizar o sincronismo das máquinas, ele calculou o mínimo múltiplo comum (m.m.c.) entre as rotações de ambos os motores e também o máximo divisor comum (m.d.c.). Após realizar os cálculos necessários, verificou que o produto entre esses dois valores era 1536.

Com base nessas informações, determine qual é a diferença entre as rotações de operação, ou seja, o valor de (a – b), sendo a e b as rotações dos motores A e B, respectivamente.

Três técnicos — André, Beatriz e Cláudio — receberam juntos R$ 4.800,00 pelo conserto de três equipamentos industriais. O pagamento deveria ser feito de forma diretamente proporcional ao tempo (em horas) que cada um trabalhou e inversamente proporcional à quantidade de falhas corrigidas por eles, conforme o quadro a seguir:



Qual foi o valor recebido por Beatriz?

Em um laboratório de física, um pesquisador utiliza um cilindro graduado para armazenar um fluido que será transferido para 12 tubos de ensaio também de formato cilíndrico. O cilindro possui 18 cm de diâmetro e 24 cm de altura, enquanto cada tubo de ensaio tem 6 cm de diâmetro e 12 cm de altura. O pesquisador deseja colocar no cilindro apenas o volume necessário para encher todos os tubos até a borda, sem sobrar líquido.

Qual fração da altura total do cilindro deverá ser preenchida com o fluido?

Durante a construção de uma praça, foi delimitada uma área triangular para a instalação de um jardim. As medições realizadas indicaram que os lados desse triângulo medem 5 m, 7 m e 10 m.

Com base nessas medidas, a área desse jardim, em metros quadrados, é:

Durante um teste em um laboratório de engenharia ambiental, um pesquisador utilizou um reservatório em forma de tronco de cone reto para investigar o deslocamento de volume causado pela imersão de sólidos. O reservatório possuía 20 cm de altura, base superior com diâmetro de 20 cm e base inferior com diâmetro de 10 cm, estando totalmente cheio de água. Ao submergir completamente um cubo metálico no interior do reservatório, observou-se que o volume desse cubo equivalia a 1/4 do volume inicial de água contido no recipiente.
Adotando π = 3, o comprimento da aresta do cubo, em centímetros, é:

Em um banco de dados contendo todos os números inteiros de 1000 a 9999, seleciona-se um registro ao acaso, com igual probabilidade de escolha para cada número. Qual é a probabilidade de que o número sorteado apresente quatro algarismos distintos?

Uma equipe de topografia analisa possíveis formatos de um terreno triangular, sabendo que dois de seus lados medem 5 m e 19 m. Considerando todas as configurações geométricas válidas, determine qual é o menor número inteiro que supera qualquer valor possível para o perímetro desse triângulo.

Em um estudo de delimitação territorial, uma equipe de georreferenciamento precisou determinar a área exata de um terreno triangular cujos lados medem 5 m, 5 m e 6 m. Esses valores foram obtidos por laser de precisão, e o cálculo da área é essencial para a emissão do laudo técnico.

Com base nessas medidas, qual é a área desse terreno, em metros quadrados?

Em um programa de incentivo à inovação tecnológica, três equipes — Alfa, Beta e Gama — receberão, juntas, um total de R$ 240.000,00 para desenvolver protótipos distintos. A distribuição dos recursos deve ocorrer diretamente proporcional ao número de integrantes de cada equipe (8, 12 e 20 membros, respectivamente) e inversamente proporcional ao tempo previsto de execução dos projetos (4, 6 e 10 meses, respectivamente).

Com base nessas condições, o valor destinado à Equipe Gama será: