ABCDEF é um octaedro regular de aresta a, tal que suas diagonais são \( \overline{AE} \), \( \overline{BF} \) e \( \overline{CD} \). M é o ponto sobre a aresta AF tal que \( \overline{FM} = a/3 \), N é o ponto sobre a aresta AD tal que \( \overline{DN} = a/3 \) e P é o ponto sobre a aresta DB tal que \( \overline{DP} = a/3 \). O ângulo \( M\hat{N}P \) é:

A imagem abaixo mostra um círculo de raio r, um quadrado de lado L e um retângulo. Os pontos em preto indicam o centro da circunferência e os locais de contato entre ela e as demais figuras. A área de interseção do quadrado com o retângulo abaixo é 11 u². O valor, em unidade u, do raio r da circunferência é:

Considere a hipérbole dada pela equação \( \dfrac{x^2}{16} - \dfrac{y^2}{9} = 1 \). Sejam \( F \) e \( F' \) seus focos onde \( F \) pertence ao semi-eixo positivo e \( F' \) ao semi-eixo negativo. Seja \( T \) o ponto simétrico ao foco \( F \) em relação à assíntota de coeficiente angular positivo. O valor do raio do circulo inscrito ao triângulo \( F'TF \) é:

O maior número real A tal que

\( A \le \dfrac{\log_{\sqrt{e}}(x) - 2 \ln(\dfrac{x}{e}) + 6}{3 - \left| \ln\left(\dfrac{1}{x^5}\right) \right| + \sqrt{\ln(x^4e^2) - 2}} \), para todo \( x \in [1, e) \),

onde e denota o número de Euler é:

Considere o sistema de equações no qual \( \theta \) é um parâmetro real.

\( \begin{cases} sen(\theta)x - cos(\theta)y - sen(\theta)z = 2025 \\ cos(\theta)x + sen(\theta)y - cos(\theta)z = 2026 \\ sen(\theta) \cdot cos(\theta)x + cos^2(\theta)y + sen(\theta) \cdot cos(\theta)z = 2030 \end{cases} \)

O conjunto de todos os valores de \( \theta \) que tornam o sistema impossível é:

Considere as matrizes com coeficientes reais

\( A = \begin{pmatrix} x & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} x + 1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \text{ e } C = \begin{pmatrix} x + 1 & 0 & 0 \\ 0 & x + 1 & x \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \)

onde os determinantes de A, B e C formam, nesta ordem, uma progressão aritmética. A soma de todos os valores possíveis de x é:

Sejam as sequências crescentes \( S_n, n \in \mathbb{N}^* \), formadas por \( n \) ímpares consecutivos, tais que \( S_1 = (1), S_2 = (3, 5) \) e \( S_k \) inicia no menor ímpar que não pertence a \( S_j \), para todo \( j < k \). A soma de todos os termos de \( S_{2025} \) é:

Sejam \( x, y \) e \( z \) inteiros positivos tais que \( x + y + z = 117 \). Um possível valor do produto \( x \cdot y \cdot z \) é:

Qual desses produtos não pode ser escrito como a diferença de dois quadrados perfeitos?

Sabe-se que \( i^2 = -1 \). A equação polinomial \( x^5 + x^4 + 7x^3 + 26x^2 + 26x + 20 = 0 \) possui uma raiz em \( x = \dfrac{-1 + i\sqrt{3}}{2} \). A quantidade de raízes reais dessa equação é: