Considere o sistema.

\( \begin{cases} x + y + z = 1 \\ x + 2y + 4z = k \\ x + 4y + 10z = k^2 \end{cases} \)

Para quais valores de k o sistema possui infinitas soluções?

Considere a transformação linear \( T:\mathbf{R}^2\rightarrow\mathbf{R}^2 \) que rotaciona cada vetor em 90º no sentido anti-horário. Qual é a matriz canônica de T?

Considere a função \( g\left(x\right) \) definida para \( x\ne0 \) . por \( g(x) = \left( \dfrac{e^x - 1 - x}{x^2} \right) \)

Para que \( g\left(x\right) \) seja contínua no ponto \( x=0 \) , qual valor deve ser atribuído a \( g\left(0\right) \) ?

Dadas as aplicações, considerando

\( \mathbf{R}^n = \{(x_1, x_2, \dots, x_n) | x_i \in \mathbf{R}, i = 1, 2, \dots, n\}, \)

I. \( P: \mathbf{R}^3 \rightarrow \mathbf{R}^3, P(x, y, z) = (x, y, 0). \)

II. \( Q: \mathbf{R}^2 \rightarrow \mathbf{R}^2, Q(x, y) = (x + 1, y + 2). \)

III. \( N: \mathbf{R}^n \rightarrow \mathbf{R}^n, N(x_1, x_2, \dots, x_n) = (0, 0, \dots, 0). \)

verifica-se que é/são linear/es

No fim do século XIX, Georg Cantor revolucionou a matemática ao formalizar a Teoria dos Conjuntos, introduzindo a noção de que o infinito não era apenas um conceito potencial, mas um objeto com diferentes cardinalidades. Essa abordagem enfrentou forte resistência por contradizer a intuição clássica de que “o todo é sempre maior que suas partes”. Na prática pedagógica, o paradoxo do “Hotel de Hilbert” é frequentemente utilizado como uma abordagem metodológica para auxiliar os alunos na transição do pensamento finitista para o pensamento transfinito. Nesse contexto, a discussão desse paradoxo em sala de aula permite que os alunos compreendam que

A utilização de softwares de Geometria Dinâmica (SGD) introduz a possibilidade de manipulação direta de objetos matemáticos. Ao utilizar a ferramenta “rastro” ou “lugar geométrico” para investigar uma parábola, definida formalmente como o conjunto de pontos P tais que d(P, F) = d(P, g), sendo F o foco e g a reta diretriz, o aluno é confrontado com o movimento de um ponto que satisfaz tal restrição.

Sob a ótica da Educação Matemática, assinale a alternativa correta que indica o principal ganho cognitivo dessa abordagem.

Dadas as afirmativas a respeito da relação congruência módulo n definida no domínio dos inteiros,

I. -188 ≡ 8 mod 7.

II. Se a, b, c e d são números inteiros, a ≡ b mod n e c ≡ d mod n, então a + c ≡ (b + d) mod n e ac ≡ bd mod n.

III. Se a e b são números inteiros e a ≡ b mod n, então a^k ≡ b^k mod n, para todo inteiro positivo k.

verifica-se que está/ão correta/s

área delimitada por um arco da parábola y = x² e a reta y = 1 é rotacionada em torno do eixo y para formar um recipiente. Determine o volume desse sólido.

\(L = \lim_{x \to \infty} \dfrac{2x + \mathrm{senx}}{x + \mathrm{cosx}}\)

Calcule o limite L e identifique a qual classe de restos L pertence em relação ao módulo 3.

No contexto de uma aula de Geometria, um docente propõe uma atividade de investigação sobre a soma dos ângulos internos de polígonos convexos. Em vez de apresentar a expressão algébrica S = (n-2)180º como um dogma a ser aplicado, o professor orienta os estudantes a decomporem diferentes polígonos em triângulos, utilizando diagonais que partem de um único vértice. Ao perceberem que um polígono de n lados é decomposto em (n-2) triângulos, os alunos estabelecem, indutivamente, a generalização para a soma dos ângulos.

Essa prática pedagógica é uma aplicação direta de qual conceito?