O item a seguir é apresentada uma situação hipotética seguida de uma assertiva a ser julgada a respeito de probabilidade e estatística.

Ao adicionar uma medição a mais, !$ x_{21} !$, a um conjunto com inicialmente 20 medições de uma dada grandeza, !$ \left\{ X_1, X_2, \cdots,X_{20} \right\} !$ , a média aritmética !$ \mu !$ do novo conjunto não se altera. Nesse caso, a variância !$ \sigma^2 !$ do conjunto inicial relaciona-se com a variância !$ \sigma_n^2 !$ do novo conjunto na forma !$ \sigma_n^2 = { \large 20 \over 21} \sigma^2 !$.

A, B, C, D, E e F são jogadores titulares de um time de basquete. O técnico observou que a média de pontos desses jogadores nos três primeiros jogos de um campeonato foi 32. Excluindo o jogador A, a média de pontos passa a ser 32,4 e, excluindo o jogador B, a média de pontos passa a ser 33,6. Nessas condições, comparando as pontuações de A e B, conclui-se que A fez x pontos a mais do que B. O valor de x é

No que se refere às ferramentas da gestão de projetos, assinale a alternativa correta.

No item a seguir apresenta uma situação hipotética seguida de uma assertiva a ser julgada com relação a análise combinatória, probabilidade e estatística.

A média aritmética simples das idades dos seis servidores lotados em um instituto da UnB é de 35 anos. Um novo servidor chega e integra a equipe desse instituto, então a média aritmética simples das idades passa a ser de 38 anos. Nesse caso, a idade do novo servidor é de 41 anos.

Suponha que uma população de tamanho !$ N !$ seja constituída pelos elementos !$ y_1 !$, … , !$ y_n !$ , de modo que a média populacional é representada como

!$ \mu = \dfrac{1}{N}\sum\limits^N_{i=1}y_i !$

e a variância populacional é definida como

!$ V^2 = \dfrac{1}{N-1}\sum\limits^N_{i=1}(y_i-\mu)^2, !$

tal que !$ V > 0 !$. Denotando-se uma amostra aleatória simples de tamanho retirada dessa população como !$ y_1 !$, …, !$ y_n !$, e considerando que a média amostral possa ser escrita como

!$ \overline{Y} = \dfrac{1}{n}\sum\limits^n_{k=1}Y_k = \dfrac{1}{n}\sum\limits^N_{i=1}\pi_iy_i, !$

em que !$ \pi !$~Binomial!$ (n,\dfrac{1}{N}) !$, e !$ \sum\limits^N_{i=1}\pi_i=n !$, julgue o item seguinte.

!$ Var(\pi_i) = \dfrac{n}{N}\times (1-\dfrac{1}{N}) !$

Suponha que uma população de tamanho !$ N !$ seja constituída pelos elementos !$ y_1 !$, … , !$ y_n !$ , de modo que a média populacional é representada como

!$ \mu = \dfrac{1}{N}\sum\limits^N_{i=1}y_i !$

e a variância populacional é definida como

!$ V^2 = \dfrac{1}{N-1}\sum\limits^N_{i=1}(y_i-\mu)^2, !$

tal que !$ V > 0 !$. Denotando-se uma amostra aleatória simples de tamanho retirada dessa população como !$ y_1 !$, …, !$ y_n !$, e considerando que a média amostral possa ser escrita como

!$ \overline{Y} = \dfrac{1}{n}\sum\limits^n_{k=1}Y_k = \dfrac{1}{n}\sum\limits^N_{i=1}\pi_iy_i, !$

em que !$ \pi !$~Binomial!$ (n,\dfrac{1}{N}) !$, e !$ \sum\limits^N_{i=1}\pi_i=n !$, julgue o item seguinte.

Se o estimador da variância populacional for !$ S^2 = \dfrac{1}{n-1}\sum\limits^n_{k=1}(Y_k-\overline{Y})^2 !$, então o valor esperado de S é igual a V.

Suponha que uma população de tamanho !$ N !$ seja constituída pelos elementos !$ y_1 !$, … , !$ y_n !$ , de modo que a média populacional é representada como

!$ \mu = \dfrac{1}{N}\sum\limits^N_{i=1}y_i !$

e a variância populacional é definida como

!$ V^2 = \dfrac{1}{N-1}\sum\limits^N_{i=1}(y_i-\mu)^2, !$

tal que !$ V > 0 !$. Denotando-se uma amostra aleatória simples de tamanho retirada dessa população como !$ y_1 !$, …, !$ y_n !$, e considerando que a média amostral possa ser escrita como

!$ \overline{Y} = \dfrac{1}{n}\sum\limits^n_{k=1}Y_k = \dfrac{1}{n}\sum\limits^N_{i=1}\pi_iy_i, !$

em que !$ \pi !$~Binomial!$ (n,\dfrac{1}{N}) !$, e !$ \sum\limits^N_{i=1}\pi_i=n !$, julgue o item seguinte.

A variância de !$ \overline{Y} !$ é igual a !$ \dfrac{V^2}{n} \times (1-\dfrac{n}{N}) !$

Suponha que uma população de tamanho !$ N !$ seja constituída pelos elementos !$ y_1 !$, … , !$ y_n !$ , de modo que a média populacional é representada como

!$ \mu = \dfrac{1}{N}\sum\limits^N_{i=1}y_i !$

e a variância populacional é definida como

!$ V^2 = \dfrac{1}{N-1}\sum\limits^N_{i=1}(y_i-\mu)^2, !$

tal que !$ V > 0 !$. Denotando-se uma amostra aleatória simples de tamanho retirada dessa população como !$ y_1 !$, …, !$ y_n !$, e considerando que a média amostral possa ser escrita como

!$ \overline{Y} = \dfrac{1}{n}\sum\limits^n_{k=1}Y_k = \dfrac{1}{n}\sum\limits^N_{i=1}\pi_iy_i, !$

em que !$ \pi !$~Binomial!$ (n,\dfrac{1}{N}) !$, e !$ \sum\limits^N_{i=1}\pi_i=n !$, julgue o item seguinte.

O valor esperado de !$ \overline{Y} !$ é igual a !$ \mu !$.

Suponha que uma população de tamanho !$ N !$ seja constituída pelos elementos !$ y_1 !$, … , !$ y_n !$ , de modo que a média populacional é representada como

!$ \mu = \dfrac{1}{N}\sum\limits^N_{i=1}y_i !$

e a variância populacional é definida como

!$ V^2 = \dfrac{1}{N-1}\sum\limits^N_{i=1}(y_i-\mu)^2, !$

tal que !$ V > 0 !$. Denotando-se uma amostra aleatória simples de tamanho retirada dessa população como !$ y_1 !$, …, !$ y_n !$, e considerando que a média amostral possa ser escrita como

!$ \overline{Y} = \dfrac{1}{n}\sum\limits^n_{k=1}Y_k = \dfrac{1}{n}\sum\limits^N_{i=1}\pi_iy_i, !$

em que !$ \pi !$~Binomial!$ (n,\dfrac{1}{N}) !$, e !$ \sum\limits^N_{i=1}\pi_i=n !$, julgue o item seguinte.

Se !$ i \ne j !$, a covariância entre !$ \pi_i !$ e !$ \pi_j !$ é negativa.

Um levantamento estatístico foi realizado entre os estudantes de graduação de três diferentes cursos no país para se estimar o percentual populacional P desses alunos que estavam otimistas quanto ao seu futuro profissional. Para isso, considerou-se que havia 12.000 estudantes matriculados nesses cursos no país na ocasião do levantamento. O quadro a seguir mostra a distribuição desses alunos conforme o curso de graduação.

As quantidades de estudantes dos cursos A, B e C que participaram do levantamento bem como os respectivos percentuais de alunos otimistas observados nessas amostras e suas estimativas dos erros padrão encontram-se no seguinte quadro.

A respeito dessa situação hipotética, julgue o item subsecutivo.

A estimativa do percentual populacional P foi igual a 75%.