Suponha que uma amostra aleatória simples X₁, X₂, X₃, X₄, X₅, de tamanho 5, vá ser obtida de uma variável populacional com média !$ \mu !$ e variância !$ σ^2 !$. Considere os seguintes estimadores de !$ \mu !$:

T₁ = !$ \overline{X} !$

T₂ = (X₁+ 2X₂ + 3X₃ + 4X₄ + 5X₅)/15

T₃ = X₁

T₄ = (2X₁-X₂)/2

As variâncias de T₁, T₂, T₃ e T₄ valem respectivamente

Suponha que uma amostra aleatória simples X₁, X₂, X₃, X₄, X₅, de tamanho 5, vá ser obtida de uma variável populacional com média !$ \mu !$ e variância !$ σ^2 !$. Considere os seguintes estimadores de !$ \mu !$:

T₁ = !$ \overline{X} !$

T₂ = (X₁+ 2X₂ + 3X₃ + 4X₄ + 5X₅)/15

T₃ = X₁

T₄ = (2X₁-X₂)/2

Os estimadores não tendenciosos de !$ \mu !$ são

Uma amostra de 200 salários foi obtida e forneceu os seguintes dados agrupados:

A média desses dados é estimada em

O número de alunos que estão matriculados nas escolas A, B e C estão registrados na tabela 1, conforme o nível de ensino.

Todos estss alunos pagaram a matrícula de acordo com os valores da tabela 2.

O valor que a escola B arrecadou com matrículas nos dois níveis de ensino (em reais) e o valor total arrecadado pelas três escolas com matrículas do ensino médio (em reais), são respectivamente:

Considere uma variável aleatória X que corresponde à renda dos indivíduos em um país. Admitindo que X tem uma distribuição de Pareto mediante a função de distribuição !$ F(x)=1-(θ/x)^{\alpha} !$ para !$ x \ge θ > 0 !$ com !$ \alpha > 1 !$, obtém-se que a média desta distribuição é
igual a

Seja o modelo auto-regressivo e estacionário !$ Z_t=2+φZ_{t-1}+a_t !$ em que !$ φ > 0 !$ e !$ a_t !$ é o ruído branco de média 0 e variância igual a 0,64. Se a variância de !$ Z_t !$ é igual a 1, então o valor de !$ φ !$ é igual a

A variável aleatória !$ X= \begin{bmatrix}X_1 \\ X_2 \\ X_3 \end{bmatrix} !$ apresenta uma distribuição normal multivariada com vetor de média !$ \mu !$ dado por !$ \begin{bmatrix}1 \\ 2 \\ 4 \end{bmatrix} !$ e matriz de covariância !$ Σ = \begin{bmatrix}1 & 0 &-1 \\ 0 & 2 & 0 \\ -1 & 0 & 3 \end{bmatrix} !$. Considerando uma outra variável aleatória !$ Y=2X_1-X_2+X_3 !$, obtém-se que a variância relativa de Y, definida como o resultado da divisão da variância de Y pelo quadrado da média de Y, é igual a

Em uma determinada data, foi encontrada a matriz de transição M (vide abaixo), após uma série de experiências, correspondendo às preferências do consumidor com relação ao consumo dos produtos !$ P_1 !$ e !$ P_2 !$

!$ P_1 !$ !$ P_2 !$

Considerando a matriz M e que a distribuição de probabilidades para a n-ésima experiência, com n tendendo ao infinito, seja a distribuição estacionária de Markov, obtém-se o correspondente vetor único de probabilidade fixo t de M igual a (m,n). O valor de m é igual a

O modelo de regressão linear simples !$ F_i=\alpha + \beta G_i+ε_I !$ foi adotado para prever o faturamento anual (F), em milhões de reais, de uma empresa em função dos respectivos gastos com propaganda (G), em milhões de reais. !$ \alpha !$ e !$ \beta !$ são parâmetros reais desconhecidos, i corresponde a i-ésima observação e !$ ε_I !$ é o erro aleatório com as respectivas hipóteses do modelo de regressão linear simples. Com base em 10 observações anuais !$ (G_i, F_i) !$ e utilizando o método dos mínimos quadrados encontrou-se a equação !$ \hat{F}_i=2+4G !$. Sabendo-se, com base nessas informações, que a estimativa da variância do modelo teórico encontrada foi de 25 e que o coeficiente de determinação !$ (R^2) !$ é igual a 80%, verifica-se que a variância da estimativa do coeficiente angular correspondente ao modelo é igual a

Uma empresa fabrica determinado tipo de equipamento. O gerente dessa empresa alega que a vida útil deste equipamento é superior a 20 dias. Um comprador duvidando da afirmação do gerente decide medir a vida útil de 36 desses equipamentos escolhidos aleatoriamente. Com o objetivo de utilizar o Teste do Sinal, subtraiu 20 de cada vida observada dos 36 equipamentos e encontrou 24 sinais + e 12 sinais −. Seja p a proporção populacional de sinais positivos e as hipóteses H₀: p = 0,50 (hipótese nula), ou seja, o gerente não tem razão e H₁: p > 0,50 (hipótese alternativa), ou seja, o gerente tem razão. Estabelecendo um nível de confiança de 5% e com a aproximação da distribuição binomial pela normal, sem a correção de continuidade, encontrou-se o valor do escore reduzido r para comparação com o valor crítico da curva normal padrão (Z) tal que a probabilidade !$ P(\left\vert z \right\vert \le 1,64)=90\% !$. O valor de r é igual a