Uma amostra aleatória de tamanho 9 é extraída de uma população normalmente distribuída e considerada de tamanho infinito. Denotaram-se os elementos da amostra por !$ \{x_1,x_2,x_3, \cdots , x_9\} !$ e obtiveram-se as seguintes informações:

!$ \sum\limits^{9}_{i=1} x_i=54 !$ e !$ \sum\limits^{9}_{i=1} x^2_i =374 !$

Dados: Quantis da distribuição t de Student !$ (t _\alpha) !$ tal que a probabilidade !$ P(t > t_\alpha)=\alpha !$ com n graus de liberdade:

Utilizando o teste t de Student e com base nesta amostra, deseja-se testar, a um determinado nível de significância, se a média !$ \mu !$ da população difere de 4,3 dado que a variância populacional é desconhecida. Considerando as hipóteses !$ H_0: \mu=4,3 !$ (hipótese nula) e !$ H_1: \mu ≠4,3 !$ (hipótese alternativa), conclui-se que ao nível de significância de

Todos os participantes de um curso foram divididos em 3 grupos (I, II e III). No final de um período, decide-se testar a hipótese, a um determinado nível de significância !$ \alpha !$, da igualdade das médias das notas dos grupos obtidas em um teste aplicado para todos os participantes. Como o número de participantes era muito grande, optou-se por extrair aleatoriamente de cada grupo 10 observações apurando-se o quadro de análise de variância abaixo, sendo que somente foram fornecidos a “Soma de quadrados Total” e o valor da estatística F utilizada para a tomada de decisão.

Conclui-se que o valor de X é igual a

De uma população normalmente distribuída com 1.025 elementos extraiu-se uma amostra aleatória, sem reposição, de tamanho n. Se a variância populacional é igual a 64 e a variância amostral igual a 2,5, então, o valor de n é igual a

A função densidade de probabilidade de uma variável aleatória X é dada por !$ f(x)={\large{3 \over 8}}x^2 !$, se !$ 0 < x < 2 !$ e !$ f(x)=0 !$, caso contrário. A função densidade de probabilidade g(u) para a variável aleatória !$ U={\large{1 \over 2}}(x+2) !$ é então

Para estimar a média !$ \mu !$ de uma população normalmente distribuída que apresenta uma variância unitária utilizam-se os dois estimadores não viesados, sabendo-se que m é um parâmetro real, E’ = 3X − Y − Z e E” = mX + mY − (2m − 1)Z. (X, Y, Z) é uma amostra aleatória de tamanho 3 extraída da população, com reposição, sendo que E” é mais eficiente que E’. Então m pertence ao intervalo com uma amplitude igual a

Verifica-se que uma variável aleatória X tem uma função densidade de probabilidade dada por !$ f(x)=\begin{cases}{\large{x+1 \over K}}, se \, 0 \le x < 2 \\0, \text{caso contrário} \end{cases} !$, sendo K um parâmetro real diferente de 0. O valor da variância de X é igual a

Sabe-se que uma variável aleatória X tem uma distribuição qui-quadrado com 4 graus de liberdade. A esperança de !$ X^2 !$, denotada por !$ E(X^2) !$, apresenta valor igual a

Seja X uma variável aleatória apresentando uma distribuição desconhecida. Utilizando o Teorema de Tchebichev encontrou-se que a probabilidade mínima de a variável pertencer ao intervalo (20,30) é igual a 75%. Se a média de X apresenta valor igual a 25, verifica-se que a variância de X é igual a

Para responder a questão, considere os dados da tabela a seguir, que dá os valores das probabilidades P(Z !$ \le !$ z) para a distribuição normal padrão (Z).

De uma população normalmente distribuída e considerada de tamanho infinito extraiu-se uma amostra aleatória de tamanho 36, obtendo-se uma média amostral igual a 80. Com base nesta amostra, um intervalo de confiança de 90% foi construído para a média !$ \mu !$ da população apresentando como resultado o intervalo [75,08; 84,92]. Uma outra amostra aleatória de tamanho 144, independente da primeira, foi extraída da população obtendo-se um novo intervalo de confiança de 96% para !$ \mu !$ com uma amplitude igual a

Para responder a questão, considere os dados da tabela a seguir, que dá os valores das probabilidades P(Z !$ \le !$ z) para a distribuição normal padrão (Z).

Considera-se que o tempo total, em dias, para a conclusão de um projeto é uma variável aleatória que apresenta uma distribuição normal de tamanho infinito e é constituída pela soma dos tempos, em dias, de 3 etapas independentes realizadas uma após a outra sem qualquer interrupção. Sejam X, Y e Z as variáveis aleatórias e normalmente distribuídas de tamanho infinito representando os tempos da primeira, segunda e terceira etapas, respectivamente. A tabela abaixo fornece os parâmetros de X, Y e Z.

A probabilidade de o projeto levar, no mínimo, 66 dias e, no máximo, 93 dias para ser concluído é igual a