Observe a figura abaixo

O número total de triângulos de quaisquer tamanhos que podem ser encontrados nesta figura é

De quantas maneiras é possível escolher dois números inteiros distintos do conjunto {1, 2, ..., 100} de tal forma que a diferença entre eles seja de, no máximo, 10 ? Considere que a ordem de escolha não importa.

A Sequência de Fibonacci é uma sequência definida recursivamente por F₁=1, F₂ = 1 e

F_n+1 = F_n + F_n-1 para todo n ≥ 2 .

Nessas condições, analisando a soma dos seus 2025 primeiros termos:

S = F ₁+F₂+...+F₂₀₂₅.

É correto afirmar que o resultado dessa soma é um número:

Sejam OA e OB segmentos de reta perpendiculares em O, medindo 18 unidades de comprimento cada. Considere que M e N sejam os pontos médios dos segmentos OA e OB, respectivamente. Se P é o ponto de interseção dos segmentos BM e AN, então a área do triângulo MNP em unidades de área é :

Em um modelo matemático utilizado para prever o comportamento de um sistema físico, a posição x de uma partícula em determinado instante é descrita pela solução da equação quadrática

4x² − 7x − 3 = 0.

As duas soluções reais dessa equação representam estados possíveis do sistema em equilíbrio. Com base no modelo, determine a soma das posições de equilíbrio.

Em um levantamento topográfico realizado para delimitar uma área de preservação, determinou-se que uma região triangular é limitada por três segmentos retos que medem 13 m, 14 m e 15 m. Para fins de cálculo ambiental, é necessário encontrar a área exata dessa região triangular. Qual é a área da região, em metros quadrados?

Em um programa de incentivo à pesquisa científica, três projetos — X, Y e Z — receberão juntos um total de R$ 180.000,00. A distribuição deve ocorrer de forma diretamente proporcional ao número de pesquisadores envolvidos em cada projeto (6, 9 e 15, respectivamente) e inversamente proporcional ao tempo previsto de execução (12, 18 e 30 meses). Nessas condições, qual é o valor destinado ao Projeto Z?

Em um estudo sobre distribuição de valores em progressões igualmente espaçadas, três números inteiros positivos são posicionados em uma reta numérica de modo que permaneçam equidistantes. O número central é 15, e o maior deles corresponde a quatro vezes o menor. Com essas condições, determine qual é o menor desses três valores.

Em um estudo de geometria aplicada ao mapeamento de trajetórias robóticas, dois arcos pertencentes a circunferências concêntricas de centro O são utilizados para modelar um corredor curvo. Sobre a circunferência interna situam-se os pontos A e D, enquanto B e C pertencem à circunferência externa. A disposição dos pontos obedece à orientação radial indicada no esquema fornecido: o ponto A localiza-se entre os raios que passam por O e B, e o ponto D encontra-se entre os raios que passam por O e C.



As exigências do modelo geométrico são as seguintes:

• o arco maior    sobre a circunferência menor, possui comprimento exatamente 2π;
• o arco menor   , sobre a circunferência maior, também possui comprimento 2π;
• cada um dos segmentos retos  AB e CD tem igualmente comprimento 2π.

Com base nessas condições de simetria e proporcionalidade entre arcos e segmentos, determine o valor do raio menor, isto é, a distância OA.

Em uma rotina de verificações numéricas em um sistema de cálculo automático, considera-se o produto formado por todos os números pares de 2 a 98, inclusive, excetuando-se aqueles que terminam em 0. Qual será o último dígito (dígito das unidades) desse produto?