Sejam \( v \) e \( t \) números complexos, em que \( |v| = 2 \) e seu \( \theta = 75º \), enquanto \( t \) tem coordenadas no Plano de Argan-Gauss (-4,0). Sabe-se que o número complexo \( z \) satisfaz a equação \( z ⋅ v = t \).

Com base nessas informações, calcule \( z^5 \) e assinale a alternativa correta.

Uma empresa de telecomunicações pretende instalar um cabo entre uma estação E, localizada na margem oeste de um rio reto que possui 2 km de largura, e um ponto de destino D, situado na margem leste, 8 km rio abaixo em relação ao ponto da margem diretamente oposta a E. A instalação do cabo pode ser feita de duas maneiras: sob a água, atravessando o rio em linha reta até um ponto F, que pode ser escolhido livremente na margem leste, e, a partir desse ponto, por terra até o destino D, seguindo pela margem do rio. Sabe-se que o custo de instalação do cabo subaquático é 60% superior ao custo por quilômetro em terra firme. A empresa deseja escolher o ponto F de forma a minimizar o custo total da instalação. Nessas condições, a que distância aproximadamente, medida ao longo da margem leste, o ponto F deve ser posicionado em relação ao ponto de destino D, para que o custo total seja o menor possível? (Suponha as margens do rio retilíneas e paralelas).

Imagine que você está imerso em um desafio de lógica inspirado pela grandeza do maior campeão do Brasil: o Palmeiras. Com seus impressionantes 12 títulos brasileiros, o clube paulista é uma força incontestável na história do nosso futebol e também um dos melhores times da América do Sul. De fato, entre 2015 e 2025, ninguém triunfou mais nesse período do que essa "Nova Academia", empilhando títulos com uma consistência notável.

Sua tarefa é descobrir quantos anagramas diferentes podem ser formados a partir das letras da palavra "PALMEIRAS", mas com uma condição especial e rigorosa: nenhuma consoante pode aparecer consecutivamente.

Qual das alternativas abaixo representa o número correto de anagramas que atendem a essa condição?

Um engenheiro projetou um componente metálico na forma de um sólido de revolução gerado pela rotação, em torno do eixo x, da região delimitada pela curva \( y = sec(x) \), pela reta horizontal \( y = 4 \) e pelas retas verticais \( x = { \large \pi \over 3} \) e \( x = { \large 5 \pi \over 12} \).

Com base nessa construção, determine o volume do sólido gerado.

Um navio está localizado no ponto \( \left (2, { \large 1 \over 2}\right) \) de um mapa cartesiano, com coordenadas em quilômetros. Nesse mapa, as rotas marítimas estão representadas pela curva definida pela equação \( y^2 - x^2 + 4x - 8 = 0 \), considerando todos os pontos reais que satisfazem essa equação. Qual é a distância mínima, em quilômetros, entre o navio e essa rota marítima?

Um terreno triangular equilátero possui, em seu interior, uma árvore plantada. As distâncias perpendiculares dessa árvore até cada um dos três lados do terreno medem 3m, 4m e 5m. Qual a área do terreno em metros quadrados?

Um balde em forma de tronco de cone, com altura de 1 m, raio do fundo de 0,3 m e raio do topo de 0,6 m, está sendo preenchido com água a urna taxa constante de 5 m³/min. A água mantém a forma do tronco de cone enquanto enche o balde. A que taxa, aproximadamente, a altura da água está aumentando no instante em que ela atinge 0,5 m de altura?

Em uma missão de logística transatlântica, a equipe de engenharia do cargueiro Atlântis VI, da Marinha Mercante Brasileira, foi encarregada de simular o desempenho do navio em diferentes condições climáticas e de carga. O objetivo era prever o comportamento do sistema de propulsão do navio ao atravessar uma região turbulenta do oceano Atlântico, conhecida por seus redemoinhos e correntes contrárias.

Durante os testes, os engenheiros perceberam que a força de propulsão líquida, ou seja, a força efetiva que impulsiona o navio para frente, descontadas as forças de resistência da água, variava com o tempo de forma não linear. Eles modelaram essa variação utilizando uma função matemática que relacionava o tempo x, a carga embarcada e à resistência hidrodinâmica do casco. Após vários ajustes, chegaram à seguinte expressão:

\( \left ( 2x - { \large 3 \over x^2}\right)^9 \)

Essa expressão representa a variação da força de propulsão líquida em função do tempo x, medida em unidades padronizadas ao longo da travessia.

Sabendo que o termo independente de x ( aquele que representa um valor constante da força, sem depender diretamente do tempo) é essencial para avaliar a estabilidade média do navio durante a travessia, os engenheiros solicitaram seu cálculo.

Com base nesse modelo, qual é o valor do termo independente de x na expansão da expressão acima?

Durante uma missão de patrulhamento marítimo, dois navios da Marinha do Brasil - o Navio Garnier Sampaio e o Navio Bocaina - estão navegando em rotas definidas no espaço tridimensional, considerando latitude, longitude e altitude (devido a sensores atmosféricos a bordo).

A trajetória do Navio Garnier Sampaio está descrita por uma reta r, dada na forma vetorial:

\( r: X = (1,2,-1)+t(2,-1,4), t ∈ R \)

O Navio Bocaina, por outro lado, reportou sua posição atual como sendo o ponto: P=(5,3,2) Com base nas informações acima, responda:

Qual é a distância entre o Navio Bocaina (ponto P) e a rota do Navio Garnier Sampaio (reta r)?

A Escola de Formação de Oficiais da Marinha Mercante (EFOMM) decidiu modernizar sua frota de navios de instrução e colocou à venda o Navio Sirius, cujo valor à vista é de R$ 150.000.000,00. Uma empresa de transporte marítimo, a "Rotas Navegáveis", tem a opção de dar uma entrada de R$ 65.000.000,00 e parcelar o restante em sete prestações dispostas em uma progressão geométrica. Ao fechar o negócio, a empresa foi informada de que a terceira parcela seria de R$ 9.600.000,00 e a quinta parcela seria de R$ 1.536.000,00.

Quanto a empresa "Rotas Navegáveis" terá de desembolsar no total para adquirir o Navio Sirius?