Considere o sistema de equações no qual \( \theta \) é um parâmetro real.

\( \begin{cases} sen(\theta)x - cos(\theta)y - sen(\theta)z = 2025 \\ cos(\theta)x + sen(\theta)y - cos(\theta)z = 2026 \\ sen(\theta) \cdot cos(\theta)x + cos^2(\theta)y + sen(\theta) \cdot cos(\theta)z = 2030 \end{cases} \)

O conjunto de todos os valores de \( \theta \) que tornam o sistema impossível é:

Considere as matrizes com coeficientes reais

\( A = \begin{pmatrix} x & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} x + 1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \text{ e } C = \begin{pmatrix} x + 1 & 0 & 0 \\ 0 & x + 1 & x \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \)

onde os determinantes de A, B e C formam, nesta ordem, uma progressão aritmética. A soma de todos os valores possíveis de x é:

Sejam as sequências crescentes \( S_n, n \in \mathbb{N}^* \), formadas por \( n \) ímpares consecutivos, tais que \( S_1 = (1), S_2 = (3, 5) \) e \( S_k \) inicia no menor ímpar que não pertence a \( S_j \), para todo \( j < k \). A soma de todos os termos de \( S_{2025} \) é:

Sejam \( x, y \) e \( z \) inteiros positivos tais que \( x + y + z = 117 \). Um possível valor do produto \( x \cdot y \cdot z \) é:

Qual desses produtos não pode ser escrito como a diferença de dois quadrados perfeitos?

Sabe-se que \( i^2 = -1 \). A equação polinomial \( x^5 + x^4 + 7x^3 + 26x^2 + 26x + 20 = 0 \) possui uma raiz em \( x = \dfrac{-1 + i\sqrt{3}}{2} \). A quantidade de raízes reais dessa equação é:

Sabe-se que \( i^2 = -1 \) e \( arg(z) \) é o argumento do complexo \( z \).

Sejam \( z_1 = 3+4i \) e \( z_2 = 12+5i \). O complexo \( z_3 \) é tal que \( |z_3 - z_2| = 5 \) e \( |arg(\dfrac{z_3 - z_2}{z_1})| = \dfrac{\pi}{2} \). O maior valor possível de \( z_3 \cdot \overline{z_3} \) é:

Sabe-se que \( i^2 = -1 \). Determine o menor número inteiro positivo \( n \) que satisfaça a expressão

\( \left( \dfrac{-\sqrt{3} + i}{2} \right)^n = \left( \dfrac{-\sqrt{3} - i}{2} \right)^n + 2i \)

Uma relação binária \( R \) sobre um conjunto \( S \) é dita antissimétrica se somente se para quaisquer \( x \) e \( y \) elementos de \( S \), sempre que \( (x,y) \in R \) e \( (y,x) \in R \), então \( x = y \). O número de relações binárias antissimétricas existentes sobre um conjunto com \( n \) elementos é:

Seja \( D = \{x \mid x \in (-1,0) \cup (0, 1)\} \), \( a \in \mathbb{R}^* \) e \( f : D \rightarrow \mathbb{R} \), tal que \( f(x) = \sum_{k=1}^{\infty} ax^{k-1} \). Então, para \( m \in D \), \( \dfrac{f(m) + f(-m)}{f(m)f(-m)} \) é igual a: