Para um número complexo z = x + iy, a função f(z) = |z|^2 é analítica na origem, mas não é analítica em qualquer outro ponto do plano complexo, porque as equações de Cauchy-Riemann são satisfeitas apenas em z=0, e as suas derivadas parciais de segunda ordem não são contínuas em toda parte, o que contradiz a analiticidade.

Situação hipotética: Um sistema dinâmico é modelado pela EDO y' = y^2 / (t*y - t) com t > 1. Assertiva: Esta é uma equação diferencial de primeira ordem separável, cuja solução geral pode ser expressa implicitamente, e sua não linearidade impede a aplicação do método do fator integrante para lineárizá-la diretamente sem uma substituição adequada.

Dada uma função f(x, y) = arctan(y/x) com x != 0, seu gradiente no ponto (1, 1) é ortogonal à curva de nível de f que passa por esse ponto, o que implica que a derivada direcional de f na direção do vetor (1, -1) é nula, visto que este vetor é paralelo à curva de nível no ponto (1, 1).

Considera-se uma transformação linear T: V -> W, onde V e W são espaços vetoriais de dimensão finita. Se a matriz de T em relação a bases B de V e C de W é A, e se a dimensão do núcleo de T é n-rank(A), onde n é a dimensão de V, é correto inferir que a imagem de T é isomorfa ao espaço coluna de A, e, portanto, a linearidade da transformação implica que a soma direta do núcleo e da imagem sempre coincide com o domínio, o que não é verdadeiro se V e W forem distintos.

Se f(x) é uma função definida por uma série de potências convergente em um intervalo aberto (-R, R), e se g(x) = x * f'(x) + f''(x) para todo x neste intervalo, então a representação de g(x) como uma série de potências centrada na origem é tal que o coeficiente do termo x^n em g(x) é obtido a partir dos coeficientes de f(x) mediante uma relação de recorrência de segunda ordem, que pode ser linearmente dependente da derivada de f(x).

A operação matemática de cálculo de porcentagem, essencial em rotinas administrativas, quando aplicada para determinar um desconto de 15% sobre um valor de R$ 250,00, resultará em um valor final de R$ 212,50.

A figura a seguir mostra duas circunferências de centros A e B com raios 2 cm e 5 cm, respectivamente. Os diâmetros SP e RQ são paralelos à reta r, que é tangente às circunferências no ponto T.

A medida da área sombreada, em cm², é igual a:

Considere a equação a seguir:

Usando log₂ 3 = 1,6 o valor inteiro mais próximo de x é igual a:

Em uma reunião de família, Mariana e Mateus foram juntos fazer refresco de laranja. Mariana espremeu quatro laranjas e acrescentou um litro de água em uma garrafa. Em outra garrafa, Mateus espremeu três laranjas e acrescentou 300 mL de água. Sabe-se que cada laranja tem 50 mL de suco e que a razão final de suco para água desejada é 1:4. Essa razão é obtida acrescentando-se X mL do refresco de Mateus a todo o refresco de Mariana. O valor de X é: