Dada uma sequência recursiva a_n = 2 * a_{n-1} + 1 para n "e2, com a_1 = 1. A soma dos primeiros n termos desta sequência pode ser obtida por uma fórmula fechada que envolve potências de 2 subtraídas por n. Esta sequência, sendo aritmética-geométrica, pode ser resolvida pelo método da substituição iterada ou por artifícios de linearização, convergindo se a razão de sua parte geométrica for menor que 1, o que não é o caso aqui.

A elipse, a parábola e a hipérbole são seções cônicas que podem ser obtidas pela intersecção de um plano com um cone duplo. Se o plano de corte for paralelo à geratriz do cone e passar pelo seu vértice, a seção cônica resultante será uma parábola degenerada, que é uma linha reta, representando um caso limite em que a excentricidade tende para 1.

Em análise combinatória, se n e k são inteiros positivos com n "e k, então C(n, k) = C(n, n-k), e essa propriedade de simetria dos coeficientes binomiais é a base para provar que a soma de todos os coeficientes de um binômio (a+b)^n é 2^n, sendo válida tanto para arranjos simples, quanto para arranjos com repetição, devido à interpretação de Pascal na construção do triângulo.

Situação hipotética: Uma urna contém 5 bolas vermelhas e 3 azuis. Duas bolas são retiradas sucessivamente sem reposição. Assertiva: A probabilidade de que a segunda bola retirada seja azul, dado que a primeira foi vermelha, é maior do que a probabilidade de ambas as bolas serem azuis, pois a condição de retirada sem reposição altera o espaço amostral para o segundo evento, tornando-o dependente do primeiro.

A reta tangente à parábola y = x^2 no ponto (a, a^2) intercepta o eixo y em um ponto que é a translação vertical de -a^2 unidades do vértice da parábola, assumindo a "` 0, e a inclinação dessa reta é dada pela primeira derivada da função naquele ponto, confirmando que a tangente é sempre paralela à corda que une o ponto de tangência ao ponto onde a projeção da mediatriz do segmento entre eles intercepta o eixo da parábola.

Considera-se a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem y'' + p(t)y' + q(t)y = 0. Se y1(t) e y2(t) são duas soluções linearmente independentes desta equação em um intervalo I, então o Wronskiano W(y1, y2)(t) é constante no intervalo I, o que é uma propriedade geral para quaisquer equações lineares de segunda ordem com coeficientes contínuos em I.

Em um triângulo retângulo, as medidas dos catetos são a e b, e a medida da hipotenusa é c. Se aplicarmos o Teorema de Pitágoras, temos que a^2 + b^2 = c^2. Se este triângulo for rotacionado em torno de um de seus catetos, formando um cone, o volume desse cone é diretamente proporcional ao quadrado do cateto em torno do qual a rotação foi feita, e a área da superfície lateral é inversamente proporcional à hipotenusa quando um dos catetos é mantido constante.

Se um vetor v é um autovetor de um operador linear T com autovalor », então v também é um autovetor do operador T^2 + 2T + I com autovalor »^2+ 2» + 1, independentemente de T ser ou não um operador diagonalizável, e essa propriedade é decorrente da linearidade e associatividade das operações sobre os operadores, uma vez que I representa o operador identidade.

Considere a série de Taylor da função f(x) = exp(x^2) em torno de x=0. Se o termo de ordem n desta série é a_n * x^n, então o coeficiente a_n será diferente de zero apenas para valores de n que são múltiplos de 2, e ademais, o raio de convergência desta série é infinito, implicando que a função é analítica em todo o plano real e que a série converge uniformemente em qualquer intervalo fechado e limitado.

Um poliedro convexo tem 20 vértices e 30 arestas. Pela Relação de Euler, V - A + F = 2, o número de faces deste poliedro é 12. Se cada face desse poliedro fosse um pentágono, então o número total de arestas seria 5F/2, o que implicaria que 30 = 5F/2 e F = 12, sendo, portanto, um Dodecaedro, um dos Poliedros de Platão, que possui faces regulares e congruentes, validando a proposição.