Considerando as definições, propriedades etc. das funções trigonométricas, dados os argumentos,

I. Para todo real x, \( (\operatorname{sen}(x) + \cos(x))^2 = \operatorname{sen}^2(x) + 2\operatorname{sen}(x)\cos(x) + \cos^2(x) e, \) então \( (\operatorname{sen}(x) + \cos(x))^2 = 1 + \operatorname{sen}(2x), \) já que \( \operatorname{sen}^2(x) + \cos^2(x) = 1 e 2\operatorname{sen}(x)\cos(x) = \operatorname{sen}(2x). \) Daí, (sen(x) + cos(x))² \( \geq \) 1.

II. Para todo real x tal que \( sen(x)\cos(x)\ne0, \) de \( \operatorname{sen}^2(x) + \cos^2(x) = 1, \) segue que \( \dfrac{1}{\cos\sec^2(x)}+\dfrac{1}{\sec^2(x)}=1 \) que dá \( \sec^2(x) + \operatorname{cossec}^2(x) = \sec^2(x)\operatorname{cossec}^2(x). \)

III. Para todo real x tal que \( \operatorname{sen}(x) \neq 0,(\operatorname{cotg}^2(x) + 1)(1 - \cos^2(x)) = \left(\dfrac{\cos^2(x)}{\operatorname{sen}^2(x)} + 1\right)(1 - \cos^2(x)), \) que dá \( (\cot g^2(x)+1)(1-\cos^2(x))=\dfrac{\cos^2(x)+sen^2(x)}{sen^2(x)}(1-\cos^2(x)). \) Daí, \( (\cot g^2(x)+1)(1-\cos^2(x))=\dfrac{1}{sen^2(x)}(1-\cos^2(x))=\dfrac{1}{sen^2(x)}-\dfrac{\cos^2(x)}{sen^2(x)}=\dfrac{1-\cos^2(x)}{sen^2(x)}=\dfrac{sen^2(x)}{sen^2(x)} \) e, portanto, \( (\operatorname{cotg}^2(x) + 1)(1 - \cos^2(x)) = 1. \)

verifica-se que é/são argumento/s matemático/s correto/s

Dadas as afirmativas acerca dos sistemas,

I. Se \( \dfrac{a}{e} = \dfrac{b}{f} = \dfrac{c}{g} \neq \dfrac{d}{h} \), então o sistema \( \begin{cases} ax + by + cz = d \\ ex + fy + gz = h \end{cases} \) é possível e indeterminado.

II. Se \( \dfrac{a}{e} = \dfrac{b}{f} = \dfrac{c}{g} = \dfrac{d}{h} \), então o sistema \( \begin{cases} ax + by + cz = d \\ ex + fy + gz = h \end{cases} \) é impossível.

III. Se \( af\ne be \), então o sistema \( \begin{cases} ax + by = d \\ ex + fy = h \end{cases} \) é possível e determinado.

se associarmos às afirmativas V ou F, conforme elas sejam verdadeiras ou falsas, obteremos, de cima para baixo, a sequência

Sabendo-se que é 1 + i raiz da equação

\( x^4 - 2x^3 + 3x^2 - 2x + 2 = 0 \) , em que i é a unidade imaginária, qual o produto das outras três raízes?

Dadas as afirmativas sobre propriedades da integral indefinida,

I. Se \( c \) é uma constante, \( \int c f(x) \, dx = c \int f(x) \, dx. \)

II.\( \int (f(x) + g(x)) \, dx = \int f(x) \, dx + \int g(x) \, dx. \)

III. \( \int (f(x) \cdot g(x)) \, dx = \int f(x) \, dx \cdot \int g(x) \, dx. \)

IV. \( \int (f(x))^n \, dx = \dfrac{(f(x))^{n+1}}{n+1} + K, K \text{ constante}. \)

se associarmos às afirmativas V ou F, conforme elas sejam verdadeiras ou falsas, obteremos, de cima para baixo, a sequência

Considere a equação algébrica no plano complexo dada por: \( (z - 1)^6 - 1 = 0 \). As raízes dessa equação formam os vértices de um polígono regular.

Assinale a alternativa correta que indica a soma de todas as raízes.

Considere \( T: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3 \) um operador linear cujos autovalores são \( \lambda_1=1,\lambda_2=2 \) e \( \lambda_3=3. \) Defina o determinante da matriz que representa a transformação linear resultante de \( T^2+I \), em que I é a matriz identidade.

Um sensor de monitoramento atmosférico deve percorrer a superfície de um domo protetor esférico, cuja equação é \( x^2 + y^2 + z^2 = 4 \). Devido à configuração do suporte eletromecânico, a trajetória do sensor é definida pela intersecção dessa esfera com um plano de equação: \( x + y + z = 1. \)

Considerando a trajetória fechada C resultante, assinale a alternativa correta que indica o vetor, com as coordenadas positivas, binormal à trajetória e o comprimento total do caminho que o sensor percorrerá sobre o domo.

Para a função \( f(x) = x \ln x \) (domínio: \( x>0 \)) , determine o intervalo em que a função é côncava para cima.