Considere uma variável aleatória X que corresponde à renda dos indivíduos em um país. Admitindo que X tem uma distribuição de Pareto mediante a função de distribuição !$ F(x)=1-(θ/x)^{\alpha} !$ para !$ x \ge θ > 0 !$ com !$ \alpha > 1 !$, obtém-se que a média desta distribuição é
igual a

Seja o modelo auto-regressivo e estacionário !$ Z_t=2+φZ_{t-1}+a_t !$ em que !$ φ > 0 !$ e !$ a_t !$ é o ruído branco de média 0 e variância igual a 0,64. Se a variância de !$ Z_t !$ é igual a 1, então o valor de !$ φ !$ é igual a

A variável aleatória !$ X= \begin{bmatrix}X_1 \\ X_2 \\ X_3 \end{bmatrix} !$ apresenta uma distribuição normal multivariada com vetor de média !$ \mu !$ dado por !$ \begin{bmatrix}1 \\ 2 \\ 4 \end{bmatrix} !$ e matriz de covariância !$ Σ = \begin{bmatrix}1 & 0 &-1 \\ 0 & 2 & 0 \\ -1 & 0 & 3 \end{bmatrix} !$. Considerando uma outra variável aleatória !$ Y=2X_1-X_2+X_3 !$, obtém-se que a variância relativa de Y, definida como o resultado da divisão da variância de Y pelo quadrado da média de Y, é igual a

Em uma determinada data, foi encontrada a matriz de transição M (vide abaixo), após uma série de experiências, correspondendo às preferências do consumidor com relação ao consumo dos produtos !$ P_1 !$ e !$ P_2 !$

!$ P_1 !$ !$ P_2 !$

Considerando a matriz M e que a distribuição de probabilidades para a n-ésima experiência, com n tendendo ao infinito, seja a distribuição estacionária de Markov, obtém-se o correspondente vetor único de probabilidade fixo t de M igual a (m,n). O valor de m é igual a

O modelo de regressão linear simples !$ F_i=\alpha + \beta G_i+ε_I !$ foi adotado para prever o faturamento anual (F), em milhões de reais, de uma empresa em função dos respectivos gastos com propaganda (G), em milhões de reais. !$ \alpha !$ e !$ \beta !$ são parâmetros reais desconhecidos, i corresponde a i-ésima observação e !$ ε_I !$ é o erro aleatório com as respectivas hipóteses do modelo de regressão linear simples. Com base em 10 observações anuais !$ (G_i, F_i) !$ e utilizando o método dos mínimos quadrados encontrou-se a equação !$ \hat{F}_i=2+4G !$. Sabendo-se, com base nessas informações, que a estimativa da variância do modelo teórico encontrada foi de 25 e que o coeficiente de determinação !$ (R^2) !$ é igual a 80%, verifica-se que a variância da estimativa do coeficiente angular correspondente ao modelo é igual a

Uma empresa fabrica determinado tipo de equipamento. O gerente dessa empresa alega que a vida útil deste equipamento é superior a 20 dias. Um comprador duvidando da afirmação do gerente decide medir a vida útil de 36 desses equipamentos escolhidos aleatoriamente. Com o objetivo de utilizar o Teste do Sinal, subtraiu 20 de cada vida observada dos 36 equipamentos e encontrou 24 sinais + e 12 sinais −. Seja p a proporção populacional de sinais positivos e as hipóteses H₀: p = 0,50 (hipótese nula), ou seja, o gerente não tem razão e H₁: p > 0,50 (hipótese alternativa), ou seja, o gerente tem razão. Estabelecendo um nível de confiança de 5% e com a aproximação da distribuição binomial pela normal, sem a correção de continuidade, encontrou-se o valor do escore reduzido r para comparação com o valor crítico da curva normal padrão (Z) tal que a probabilidade !$ P(\left\vert z \right\vert \le 1,64)=90\% !$. O valor de r é igual a

Uma amostra aleatória de tamanho 9 é extraída de uma população normalmente distribuída e considerada de tamanho infinito. Denotaram-se os elementos da amostra por !$ \{x_1,x_2,x_3, \cdots , x_9\} !$ e obtiveram-se as seguintes informações:

!$ \sum\limits^{9}_{i=1} x_i=54 !$ e !$ \sum\limits^{9}_{i=1} x^2_i =374 !$

Dados: Quantis da distribuição t de Student !$ (t _\alpha) !$ tal que a probabilidade !$ P(t > t_\alpha)=\alpha !$ com n graus de liberdade:

Utilizando o teste t de Student e com base nesta amostra, deseja-se testar, a um determinado nível de significância, se a média !$ \mu !$ da população difere de 4,3 dado que a variância populacional é desconhecida. Considerando as hipóteses !$ H_0: \mu=4,3 !$ (hipótese nula) e !$ H_1: \mu ≠4,3 !$ (hipótese alternativa), conclui-se que ao nível de significância de

Todos os participantes de um curso foram divididos em 3 grupos (I, II e III). No final de um período, decide-se testar a hipótese, a um determinado nível de significância !$ \alpha !$, da igualdade das médias das notas dos grupos obtidas em um teste aplicado para todos os participantes. Como o número de participantes era muito grande, optou-se por extrair aleatoriamente de cada grupo 10 observações apurando-se o quadro de análise de variância abaixo, sendo que somente foram fornecidos a “Soma de quadrados Total” e o valor da estatística F utilizada para a tomada de decisão.

Conclui-se que o valor de X é igual a

De uma população normalmente distribuída com 1.025 elementos extraiu-se uma amostra aleatória, sem reposição, de tamanho n. Se a variância populacional é igual a 64 e a variância amostral igual a 2,5, então, o valor de n é igual a

A função densidade de probabilidade de uma variável aleatória X é dada por !$ f(x)={\large{3 \over 8}}x^2 !$, se !$ 0 < x < 2 !$ e !$ f(x)=0 !$, caso contrário. A função densidade de probabilidade g(u) para a variável aleatória !$ U={\large{1 \over 2}}(x+2) !$ é então