Avalie se as seguintes famílias de densidades pertencem à família exponencial:

I. Distribuição Normal

II. Distribuição Poisson

III. Distribuição Bernoulli

IV. Distribuição Geométrica

Pertencem de fato à família exponencial

Uma amostra aleatória simples X₁ , X₂ , X₃ , X₄ , de tamanho 4, será obtida de uma variável populacional com média \( \mu \).

Considere os seguintes possíveis estimadores de \( \mu \):

T₁ = (X₁ + X₂ + X₃ + X₄ ) / 4

T₂ = (X₁ + 2X₂ + 3X₃ + 4X₄ ) / 10

T₃ = X₄

T₄ = (X₁ - X₂ + 3X₃ - X₄ ) / 4

São estimadores não tendenciosos de \( \mu \):

Uma amostra aleatória simples \( X_1 \), \( X_2 \), ..., \( X_n \) de tamanho \( n \) será obtida de uma variável aleatória populacional normalmente distribuída com média \( \mu \) e variância \( σ^2 \).

Se \( \bar{X} \) e \( S^2 = \textstyle \sum_{i=1}^n (X_1-\bar{X})^2/(n-1) \) são a média amostral e a variância amostral de \( \mu \) e de \( σ^2 \), respectivamente, então os estimadores de máxima verossimilhança de \( \mu \) e de \( σ^2 \) são, respectivamente,

\( X_1 \), \( X_2 \) e \( X_3 \) são variáveis aleatórias independentes, com distribuição Poisson de parâmetros 2, 4 e 6, respectivamente. Nesse caso, a variável \( Y=X_1+X_2+X_3 \) tem distribuição

use o enunciado a seguir para responder a questão.

Duas variáveis aleatórias discretas X e Y têm função de probabilidade conjunta dada por:

Assim, por exemplo, P[ X = 0; Y = 0] = 0,1.

A covariância entre X e Y é igual a

use o enunciado a seguir para responder a questão.

Duas variáveis aleatórias discretas X e Y têm função de probabilidade conjunta dada por:

Assim, por exemplo, P[ X = 0; Y = 0] = 0,1.

A soma dos valores das variâncias de X e de Y é igual a

use o enunciado a seguir para responder a questão.

Duas variáveis aleatórias discretas X e Y têm função de probabilidade conjunta dada por:

Assim, por exemplo, P[ X = 0; Y = 0] = 0,1.

As médias de X e de Y valem, respectivamente,

Uma amostra aleatória simples de tamanho 25 de uma variável aleatória populacional suposta normalmente distribuída com média \( \mu \) desconhecida e variância suposta igual a 100 revelou uma média amostral igual a 20,8.

Lembre-se que se Z tem distribuição normal padrão, então

P[ - 1,96 < Z < 1,96 ] = 0,95.

Assim, um intervalo de 95% de confiança para \( \mu \) será dado, aproximadamente, por

Se \( X_1 \), \( X_2 \), ..., \( X_n \) é uma amostra aleatória simples de tamanho n de uma distribuição Poisson com parâmetro \( λ \) então a variável \( \textstyle \sum_{i=1}^n X_i \) tem distribuição

Se uma variável aleatória contínua X tem função de densidade de probabilidade dada por

\( f(x)=\begin{cases} λ e^{-λ x}, x \ge 0 \\0, x < 0 \end{cases} \)

com \( λ > 0 \), então a variância de X é igual a