Suponha que a distribuição conjunta do vetor !$ (X,Y) !$ é dada pela densidade !$ f(x,y|θ)=θ(θ+1)(1-x-y)^{θ-1}I_A(x,y) !$, em que !$ A= !${!$ (x,y):x,y !$ > 0,0 < !$ x+y !$ < 1}, !$ θ !$ !$ ∈ !$ !$ \mathbb{N} !$ = {1,2, … }, e !$ I_A !$, !$ (x,y) !$ é função indicadora !$ I_A(x,y)= !$ 1, se !$ (x,y) !$, !$ ∈ !$ !$ A !$, e !$ I_A(x,y)= !$ 0, caso contrário. Supondo que se tenha somente uma observação !$ x= !$ 0,01 e !$ y= !$ 0,19, a estimativa de máxima de verossimilhança !$ \widehat{θ}_{MV} !$ é

Seja !$ X=(X_1,...X_n) !$ amostra aleatória simples em que !$ X_1,...,X_n !$ variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas cuja função densidade de probabilidade é dada por !$ f(x|θ)= !$ !$ \dfrac{3θ^3}{x^4}I_{[θ,∞)}(x),θ !$ > 0, em que !$ I_A(x) !$ é função indicadora: !$ I_A(x) !$ = 1, se !$ x !$ !$ ∈ !$ !$ A !$, e !$ I_A(x) !$ = 0, caso contrário. Acerca do estimador !$ \widehat{θ}_{MV} !$ de máxima verossimilhança para !$ θ !$, é correto afirmar que

Seja !$ K_b !$ uma classe de estimadores !$ θ^* !$ de parâmetro !$ θ !$ com viés !$ b(θ) !$ (considerando caso unidimensional). Pelo teorema de Rao- Blackwell pode-se construir um estimador “melhor” !$ θ\overset{*}{s} !$ com base em uma estatística suficiente !$ S=S(X) !$. Seja !$ X=(X_1,... ,X_n) !$ uma amostra aleatória da distribuição de Poisson com parâmetro !$ λ !$ e a estatística !$ S=\sum_{i=1}^nX_i !$ . Considere !$ θ^*=X_1 !$ como estimador de !$ λ !$ e o estimador “melhorado” !$ θ\overset{*}{s}=E_θ(θ^*|S) !$. Nesse caso, isso significa que

Considere a distribuição de Poisson com parâmetro !$ λ !$ como distribuição populacional. Seja !$ X=(X_1,...,X_n) !$ uma amostra aleatória simples dessa população e a estatística !$ S=\sum_{i=1}^nX_i !$ . Com base nessas informações, assinale a alternativa correta.

Quando o desenvolvimento em série de Taylor de uma função derivável é feito em torno do zero, a série é chamada de série de MacLaurin. Assinale a alternativa que representa a série de MacLaurin da função f(x) = e^-x, em que e representa o número de Euler.

Considere a função f(x) = x³ - x definida no intervalo [0,2]. Nessas condições, com relação à aplicação do teorema do valor médio (TVM), assinale a alternativa correta.

A equação caraterística associada à equação diferencial y” – 2y’+ 10y = 0 apresenta

As equações de calor e de onda, dadas, respectivamente, por !$ α^2\dfrac{∂^2u(x,t)}{∂x^2}=\dfrac{∂u(x,t)}{∂t}\,\,e\,\,α^2\dfrac{∂^2u(x,t)}{∂x^2}=\dfrac{∂^2u(x,t)}{∂t^2} !$ são exemplos clássicos de equações diferenciais. Considerando que !$ α^2 !$ e !$ a^2 !$ representam determinadas constantes físicas, e que a função !$ u !$ depende de duas variáveis independentes !$ x !$ e !$ t !$, em termos de classificação, ambas são exemplos de equações diferenciais

Sejam V_A e V_B os volumes dos sólidos A e B em !$ \mathbb{R^3} !$, respectivamente, em que

!$ A= !$ { !$ (x,y,z) ∈ \mathbb{R^3}:36x^2+8y^2+9\,z^2\le\,72 !$} e

!$ B= !$ { !$ (x,y,z) ∈ \mathbb{R^3}:x^2+y^2+z^2\le9 !$}.

Então, V_A e V_B são iguais, respectivamente, a

Sejam A e B as cônicas em !$ \mathbb{R^2} !$, cujas equações são 9!$ x^2 !$ + 4!$ y^2 !$ = 36 e 4!$ x^2 !$ + 9!$ y^2 !$ = 36, respectivamente. Seja !$ d_A !$ a distância entre os focos da cônica A. Seja, ainda, !$ d_B !$ a distância entre os focos da cônica B. Com base nisso, assinale a alternativa correta.