Dadas as matrizes:

!$ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \end{bmatrix} !$, !$ x = \begin{bmatrix} 2 & 13 & 65 \end{bmatrix} !$ e !$ B = x^T . x !$. Qual é o valor do determinante de !$ 2 . A^{-1} . B^2 !$?

Felipe, andando pelo pátio de sua escola, encontra, no chão, uma lista de exercícios de matemática toda feita pelo seu amigo Bruno contendo as seguintes perguntas e respostas:

1) É verdade que !$ (\sqrt[3] {Z})^2 = \sqrt[3] {Z^2} ∀ Z ∈\mathbb{C} !$.Justifique.

Resposta: Sim é verdade, pois, tomando a parte real igual a 1 e a parte imaginária igual a zero, tem-se !$ Z = 1 !$ e, com isso, a igualdade permanece.

2) Cite duas descrições geométricas do conjunto !$ B !$ dos números complexos !$ Z !$ que satisfazem !$ |Z - 2| = |Z - 3i| !$, sendo !$ i !$ a unidade imaginária.

Reposta: É uma reta que passa pelo ponto !$ \begin{pmatrix} { \large 1 \over 2} , { \large 7 \over 6} \end{pmatrix} !$ e tem coeficiente angular igual a !$ { \large 2 \over 3} !$.

3) Seja !$ Z !$ um número complexo de !$ Re(Z) !$ a parte real de !$ Z !$. Qual é o conjunto dos pontos tais que !$ Re(Z^2) < 0 !$?

Resposta: É o conjunto !$ A = \{ Z ∈ \mathbb{c} | { \large \pi \over 4} < argumento \, de \, Z < { \large 3\pi \over 4} \} !$ união com o conjunto !$ B = \{ z ∈ \mathbb{C}| { \large -3 \pi \over 4} < argumento \, de \, Z < { \large - \pi \over 4} \} !$.

4) Seja !$ Z !$ um número complexo. Os valores de !$ Z !$ tais que !$ e^{2x -1} = 1 !$ é igual a?

Resposta: !$ Z = { \large 1 \over 2} + k \pi i !$ para !$ k ∈ \mathbb{Z} !$. Sendo i a unidade imaginária.

Suponha que Felipe saiba que responder a todas as perguntas de forma correta. E que ele as corrigirá atribuindo a cada pergunta do valor de 2,5 por resposta correta e zero ponto por resposta errada, NÃO existe acerto de parte da questão (Bruno acerta ou erra sua resposta). Sendo assim, assinale a opção que apresenta a quantidade de pontos obtidos por Bruno na correção de Felipe.

Do Diário do Imperador

Acabo de ler o Diário do Imperador D. Pedro 11, escrito exatamente há um século. Por essas pequenas anotações, pode-se acompanhar um ano da sua vida, amostra suficiente das dificuldades com que o Brasil tem lutado sempre para entrar no bom caminho, para melancolia e desânimo de seus mais devotados servidores.

Assim mesmo se exprimiu o Imperador: "Muitas coisas me desgostam; mas não posso logo remediá-Ias e isso me aflige profundamente. Se ao menos eu pudesse fazer constar geralmente como penso! Mas pra quê - se tão poucos acreditariam nos embaraços que encontro para que eu faça o que julgo acertado! Há muita falta de zelo, e o amor da pátria só é uma palavra - para a maior parte I"

A respeito de certo boato que se espalhara, comenta, com desgosto: "Tudo inventam; e triste política é a que vive de semelhantes embustes quando tantos meios honestos havia de fazer oposição; mas para isso é necessário estudar as necessidades da Nação - e onde está o zelo?"

(A palavra ZELO ocorre numerosas vezes neste diário: é essa "dedicação ardente", essa "diligência", que o Imperador não encontra na maior parte dos que, no entanto, por função, estão encarregados dos problemas nacionais. E isso lhe causa sofrimento.)

Os moços de hoje deviam ler estas palavras, e entendê-Ias: "Na educação da mocidade é que sobretudo confio para regeneração da pátria. Gritam que se não pode chegar ao poder senão fazendo oposição como a fazem; mas, quando no poder, não sofrem do mal que fomentaram? A imprensa é inteiramente livre, como julgo deva ser e na Câmara e no Senado a oposição tem representantes; mas que fazem estes pela maior parte?"

Os homens públicos também deveriam meditar sobre esta passagem:" ... Mas tudo custa a fazer em nossa terra e a instabilidade de ministério não dá tempo aos ministros para iniciarem, depois do necessário estudo, as medidas mais urgentes. É preciso trabalhar, e vejo que não se fala quase senão em política, que é, as mais das vezes, guerra entre interesses individuais."

Há neste pequeno diário, de um ano e cinco dias, variadas observações sobre agricultura, teatro, ciência, educação; impressões de visitas a diferentes estabelecimentos educacionais e industriais; breves apontamentos sobre ministros e personalidades do tempo. Terminada a leitura, parece-nos que estamos na mesma, que o século não passou; apenas as pessoas mudaram de nome. E o Imperador, há cem anos, escrevendo: "A falta de zelo; a falta de sentimento do dever é nosso primeiro defeito moral. Força é contudo aceitar suas consequências, procurando, aliás, destruir esse mal que nos vai tornando tão fracos."

D. Pedro II deixou fama de sabedoria, e comparando-se as modestas (mas importantíssimas) observações de seu diário com a verborragia demagógica de que ainda somos vitimas, e dos males que a acompanham, compreende-se que muita gente desesperada até pense em tornar-se monarquista.

Mas convém não esquecer estas palavras do próprio Imperador: "Nasci para consagrar-me às letras e às ciências; e, a ocupar posição política, preferiria a de presidente da República ou ministro à de Imperador" .

Sejamos, pois, republicanos, democratas, estudiosos, honestos, justiceiros, e cultivemos o ZELO de bem servir à pátria, aos homens, às instituições. Neste particular, estamos com um século de atraso.

MEIRELES. Cecilia. Escolha o seu sonho. São Paulo: Global. 2016 (Texto adaptado)

Leia o período a seguir:

"Acabo de ler o Diário do Imperador D. Pedro II, escrito exatamente há um século." (1°§)

Marque a opção em que o comentário sobre a transitividade do verbo destacado está correto.

Analise a figura abaixo.

Considere duas ondas planas, uma de luz visível e outra de som audível, oscilando com comprimento de onda iguais a !$ λ_L = 10^{-4} !$ cm e !$ λ_S = 1,7 !$ cm, respectivamente. No mesmo instante, ambas incidem perpendicularmente sobre um mesmo lado do anteparo plano, opaco e bom absorvente acústico mostrado na figura acima. Atravessando o orifício circular de diâmetro d pode-se afirmar que, na região do outro lado do anteparo:

Considere um bloco de gelo de 80,0 kg deslizando, com velocidade constante v, em um plano inclinado de 30° com a horizontal. Sabendo que a massa de gelo que derrete por minuto, em consequência do atrito, é de 20,0 g, e que o calor latente de fusão do gelo é 336 J/g, qual o valor da velocidade v, em centímetros por segundo?

Dado: !$ g= 10m/s^2 !$

Analise a figura abaixo.

A figura acima mostra uma espira retangular, de lados a=40 cm e b=20 cm, no instante t=0. Considere que a espira se move com velocidade v=5,0 cm/s, para a esquerda, perpendicularmente a um campo magnético uniforme de indução, B=2,0 T. Sabendo que a espira tem uma resistência de 20 !$ Ω !$, qual é a intensidade, em ampére, de corrente elétrica na espira em t=3,0 s?

Sejam os pontos A, B , C e D sobre uma circunferência, conforme a figura abaixo, de tal forma que os comprimentos dos arcos AB,BC,CD e DA medem respectivamente, !$ { \large \pi \over 3}, { \large 2 \pi \over 3}, { \large 4 \pi \over 3} e { \large 5 \pi \over 3} !$, determinando as cordas AC e BD. O valor da área da região hachurada é de:

Analise o gráfico abaixo.

Suponha que uma descarga atmosférica (raio) transferiu cargas positivas da nuvem para o solo de acordo com o gráfico da corrente elétrica (em quiloamperes) em função do tempo (em microssegundos) mostrado na figura acima. Com uma duração de apenas !$ 60μs !$, esse fenômeno transferiu ao solo uma carga elétrica total, em coulombs, de: