Se um sistema de equações lineares possui mais incógnitas do que equações, ele sempre terá infinitas soluções, ou nenhuma solução, garantindo que nunca existirá uma solução única, mesmo que o rank da matriz de coeficientes seja igual ao número de equações, o que é uma condição para a existência de pelo menos uma solução particular, mas não necessariamente única.

Dada a função f(x) = |x|, o limite de f(x) quando x tende a 0 pela direita é diferente do limite quando x tende a 0 pela esquerda, o que impede a continuidade da função em x=0, e, consequentemente, a diferenciabilidade em 0. No entanto, o conceito de derivada direcional é aplicável e pode ser calculado em x=0, em qualquer direção, o que contradiz a não diferenciabilidade total em 0.

Uma matriz quadrada A é diagonalizável se e somente se existe uma base de autovetores para o espaço vetorial subjacente. Se uma matriz A de ordem n possui n autovalores distintos, então ela é garantidamente diagonalizável, e a multiplicidade algébrica de cada autovalor é igual à sua multiplicidade geométrica, o que é uma condição suficiente, mas não necessária, para a diagonalização.

Em trigonometria, a Lei dos Cossenos afirma que em qualquer triângulo com lados a, b, c e ângulos opostos A, B, C, respectivamente, tem-se a^2 = b^2 + c^2 - 2bc*cos(A). Se o triângulo for retângulo em A, então cos(A) = 0, e a Lei dos Cossenos se reduz ao Teorema de Pitágoras, demonstrando a universalidade dessa lei e sua relação com casos específicos de triângulos, e ademais, o mesmo acontece com o seno quando o ângulo se anula ou atinge À.

A equação da reta que passa pelo ponto (x0, y0) e possui coeficiente angular m é dada por y - y0 = m(x - x0). Se uma reta não é vertical, ela sempre possui um coeficiente angular bem definido. Além disso, a distância de um ponto P(x1, y1) a uma reta ax + by + c = 0 é dada por |ax1 + by1 + c| / sqrt(a^2 + b^2), e essa fórmula é aplicável mesmo se a reta for vertical ou horizontal, o que descomplica o cálculo em geometrias específicas.

O produto vetorial entre dois vetores não nulos u e v no espaço tridimensional resulta em um vetor w que é ortogonal a ambos u e v. O módulo de w é dado por |u||v|sen¸, onde ¸ é o ângulo entre u e v. Se u e v forem paralelos, o produto vetorial será o vetor nulo, e o produto escalar entre u e v será nulo, visto que o ângulo entre eles

Se f(x) é uma função contínua em um intervalo [a, b], então existe um número c em (a, b) tal que a derivada de f em c é igual à taxa de variação média de f sobre [a, b], conforme o Teorema do Valor Médio. No entanto, se f(x) for apenas contínua e não diferenciável em algum ponto do intervalo, o teorema ainda se aplica, pois a diferenciabilidade em todo o intervalo não é uma condição prévia, o que é uma interpretação incorreta do teorema.

Dada uma sequência recursiva a_n = 2 * a_{n-1} + 1 para n "e2, com a_1 = 1. A soma dos primeiros n termos desta sequência pode ser obtida por uma fórmula fechada que envolve potências de 2 subtraídas por n. Esta sequência, sendo aritmética-geométrica, pode ser resolvida pelo método da substituição iterada ou por artifícios de linearização, convergindo se a razão de sua parte geométrica for menor que 1, o que não é o caso aqui.

A elipse, a parábola e a hipérbole são seções cônicas que podem ser obtidas pela intersecção de um plano com um cone duplo. Se o plano de corte for paralelo à geratriz do cone e passar pelo seu vértice, a seção cônica resultante será uma parábola degenerada, que é uma linha reta, representando um caso limite em que a excentricidade tende para 1.

Em análise combinatória, se n e k são inteiros positivos com n "e k, então C(n, k) = C(n, n-k), e essa propriedade de simetria dos coeficientes binomiais é a base para provar que a soma de todos os coeficientes de um binômio (a+b)^n é 2^n, sendo válida tanto para arranjos simples, quanto para arranjos com repetição, devido à interpretação de Pascal na construção do triângulo.