Situação hipotética: Uma urna contém 5 bolas vermelhas e 3 azuis. Duas bolas são retiradas sucessivamente sem reposição. Assertiva: A probabilidade de que a segunda bola retirada seja azul, dado que a primeira foi vermelha, é maior do que a probabilidade de ambas as bolas serem azuis, pois a condição de retirada sem reposição altera o espaço amostral para o segundo evento, tornando-o dependente do primeiro.

A reta tangente à parábola y = x^2 no ponto (a, a^2) intercepta o eixo y em um ponto que é a translação vertical de -a^2 unidades do vértice da parábola, assumindo a "` 0, e a inclinação dessa reta é dada pela primeira derivada da função naquele ponto, confirmando que a tangente é sempre paralela à corda que une o ponto de tangência ao ponto onde a projeção da mediatriz do segmento entre eles intercepta o eixo da parábola.

Considera-se a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem y'' + p(t)y' + q(t)y = 0. Se y1(t) e y2(t) são duas soluções linearmente independentes desta equação em um intervalo I, então o Wronskiano W(y1, y2)(t) é constante no intervalo I, o que é uma propriedade geral para quaisquer equações lineares de segunda ordem com coeficientes contínuos em I.

Em um triângulo retângulo, as medidas dos catetos são a e b, e a medida da hipotenusa é c. Se aplicarmos o Teorema de Pitágoras, temos que a^2 + b^2 = c^2. Se este triângulo for rotacionado em torno de um de seus catetos, formando um cone, o volume desse cone é diretamente proporcional ao quadrado do cateto em torno do qual a rotação foi feita, e a área da superfície lateral é inversamente proporcional à hipotenusa quando um dos catetos é mantido constante.

Se um vetor v é um autovetor de um operador linear T com autovalor », então v também é um autovetor do operador T^2 + 2T + I com autovalor »^2+ 2» + 1, independentemente de T ser ou não um operador diagonalizável, e essa propriedade é decorrente da linearidade e associatividade das operações sobre os operadores, uma vez que I representa o operador identidade.

Considere a série de Taylor da função f(x) = exp(x^2) em torno de x=0. Se o termo de ordem n desta série é a_n * x^n, então o coeficiente a_n será diferente de zero apenas para valores de n que são múltiplos de 2, e ademais, o raio de convergência desta série é infinito, implicando que a função é analítica em todo o plano real e que a série converge uniformemente em qualquer intervalo fechado e limitado.

Um poliedro convexo tem 20 vértices e 30 arestas. Pela Relação de Euler, V - A + F = 2, o número de faces deste poliedro é 12. Se cada face desse poliedro fosse um pentágono, então o número total de arestas seria 5F/2, o que implicaria que 30 = 5F/2 e F = 12, sendo, portanto, um Dodecaedro, um dos Poliedros de Platão, que possui faces regulares e congruentes, validando a proposição.

Para um número complexo z = x + iy, a função f(z) = |z|^2 é analítica na origem, mas não é analítica em qualquer outro ponto do plano complexo, porque as equações de Cauchy-Riemann são satisfeitas apenas em z=0, e as suas derivadas parciais de segunda ordem não são contínuas em toda parte, o que contradiz a analiticidade.

Situação hipotética: Um sistema dinâmico é modelado pela EDO y' = y^2 / (t*y - t) com t > 1. Assertiva: Esta é uma equação diferencial de primeira ordem separável, cuja solução geral pode ser expressa implicitamente, e sua não linearidade impede a aplicação do método do fator integrante para lineárizá-la diretamente sem uma substituição adequada.

Dada uma função f(x, y) = arctan(y/x) com x != 0, seu gradiente no ponto (1, 1) é ortogonal à curva de nível de f que passa por esse ponto, o que implica que a derivada direcional de f na direção do vetor (1, -1) é nula, visto que este vetor é paralelo à curva de nível no ponto (1, 1).