O comprimento X das fibras de algodão é uma das características determinantes da qualidade da produção na indústria têxtil. Suponha que a variável X tenha distribuição Normal com média μ e desvio padrão σ que dependem do fornecedor. Uma indústria recebe um lote dessas fibras, que podem ter vindo do fornecedor A ou do fornecedor B, cujos parâmetros na distribuição de X são, respectivamente: !$ ( \mu_A = 33; \sigma_A = 3) !$ e !$ ( \mu_B = 36; \sigma_A = 6) !$. Para decidir se o lote veio do fornecedor A (hipótese H₀) ou do fornecedor B (hipótese H₁), a indústria resolve selecionar uma amostra de tamanho “n” das fibras do lote e, se o comprimento médio das fibras selecionadas for grande !$ ( \bar{x} > K) !$, onde k é uma constante, a indústria decide que o lote veio do fornecedor B; caso contrário, decide que veio do fornecedor A. Considere a seguinte tabela, que apresenta quantis da distribuição Normal de média zero e desvio padrão um.

Quantis da distribuição

Normal Z, de média zero e desvio padrão um.

Qual é o valor aproximado de “n” de forma que as probabilidades de cometer o Erro Tipo I e o Erro Tipo II sejam ambas iguais a 0,05?

Sabe-se que, na última safra, o custo médio do frete de itens agrícolas, para distâncias em torno de 800 km, foi de R$ 350,00 com um desvio padrão de R$ 75,00. Para a safra atual, os produtores adotaram novas estratégias no planejamento e na logística do transporte da produção, a fim de diminuir esse custo médio. Assumindo que as novas estratégias não modificaram o desvio padrão do custo na safra atual e supondo normalidade na distribuição da variável custo, deseja -se verificar se as mudanças foram eficazes. Para o teste das hipóteses de interesse, foram registrados os custos do frete na safra atual (para distâncias em torno de 800 km) de uma amostra de 25 produtores, cuja média e desvio padrão amostral foram, respectivamente, !$ \bar{x} = R$ 305,00 !$ e s = R$ 70,00. Assim, o p-valor (ou nível descritivo) do teste é aproximadamente p = 0,0013, e conclui-se que as mudanças foram eficazes na redução do custo. Seja Z uma variável com distribuição Normal de média zero e desvio padrão um, e seja !$ \bar{X} !$ a estatística que representa a média amostral, o p- valor foi obtido como a seguinte probabilidade:

As probabilidades dos Erros Tipo I e Tipo II são, respectivamente,

A fim de combater o desperdício e diminuir o consumo (em kWh: Quilowatt-hora) de energia elétrica em empresas de pequeno porte de uma região, uma consultoria especializada foi contratada e implementou algumas medidas para melhorar a eficiência energética. Para acompanhar a redução no consumo de energia com as novas medidas, a consultoria selecionou uma amostra de n = 16 empresas da região e registrou o consumo antes (variável X) e após (variável Y) a implementação das medidas propostas. Foram observados, antes das novas medidas, um consumo médio entre as empresas selecionadas $\bar{x} =350 KWh$ e, após as novas medidas, um consumo médio $\bar{x} =320 KWh$. Suponha que a diferença entre os consumos, D = X - Y, segue uma distribuição Normal, e que o desvio padrão dessas diferenças entre as empresas selecionadas foi S_D = 40 kW/h. Deseja-se testar a hipótese de que houve redução no consumo com as novas medidas.

Com base na tabela a seguir e adotando um nível de significância de 5%, qual é a região crítica do teste (RC) e a decisão tomada?

Distribuição t-Student com k graus de liberdade: valores de t tais que $P (-t \le T_k \le t) = 1 - p$

Uma forma de comparar as médias μ_x e μ_y de duas populações normais independentes X e Y, respectivamente, com variância comum e desconhecida σ², é através do Intervalo de confiança para a diferença entre as médias, dado por

!$ \bar{x} - \bar{y} \pm q_t x S_p x \sqrt{ { \large 1 \over n} + { \large 1 \over m}}, !$

com !$ \bar{x} !$ representando a média observada em uma amostra aleatória de tamanho n da população X, !$ \bar{y} !$ a média observada em uma amostra aleatória de tamanho m da população Y, S_p é o desvio padrão amostral combinado observado nas amostras, e q_t é um quantil da distribuição t-Student. Se y é o coeficiente de confiança desejado no intervalo e T_c representa a distribuição t-Student com c graus de liberdade, o quantil qt deve satisfazer a seguinte probabilidade:

No processo de estimação de parâmetros associados à distribuição de uma variável aleatória X, através de intervalos de confiança baseados no método da quantidade pivotal, pode-se afirmar que

Com relação às propriedades dos estimadores e aos diferentes métodos de estimação, pode-se afirmar que

A fim de estimar a probabilidade θ de sucesso em uma população X ~ Bernoulli (θ), foi conduzido o seguinte experimento em duas etapas: inicialmente, observou -se uma amostra aleatória X1, … , X_n, de tamanho n e, em seguida, observou-se uma nova amostra aleatória !$ X_{ n + 1}, \cdots, X_{n +m} !$, de tamanho m, independentemente da primeira amostra. Suponha que os seguintes estimadores estão sendo propostos para θ:

!$ \hat{ \theta}_1 = { \large 1 \over n} \sum_{i =1}^n X_i^2 !$ e !$ \hat{ \theta}_2 = { \large 1 \over 2} { \begin{pmatrix} { \large 1 \over n} \sum_{ i =1}^n X_i + { \large 1 \over m} \sum_{ i = n+ 1}^{n + m} X_i \end{pmatrix}} !$ Uma das propriedades desejáveis de um estimador é que ele tenha um erro quadrático médio pequeno. O estimador !$ \hat{ \theta}_2 !$ terá erro quadrático médio menor que o estimador !$ \hat{ \theta}_2 !$ terá erro quadrático médio menor que o estimador !$ \hat{ \theta}_1 !$ se, e somente se:

Observe a quantidade de filhos por funcionários de uma determinada empresa:

A média da quantidade de filhos é: