Um processo de Wiener _t (movimento browniano padrão) satisfaz as seguintes propriedades:

− W₀ = 0 com probabilidade 1.
− Para t > 0, W_t tem distribuição normal com média 0 e variância .
− Para s, t > 0, W_t+s − W_s tem a mesma distribuição de W_t.
− Se 0 ≤ q ≤ r ≤ s < t, então W_t − W_s e W_r − W_q são variáveis aleatórias independentes.
− A função t → W_t é contínua com probabilidade 1.

Considerando as propriedades apresentadas, a média e a variância de W_s + W_t são, respectivamente,

Considere uma partícula que faz um passeio aleatório simples, simétrico e com barreiras pelas posições {0, 1, 2, ..., 100}. Se a partícula estiver na posição 0, ela se moverá para a posição 1 no próximo passo. Se a partícula estiver na posição 100, ela se moverá para a posição 99 no próximo passo. Para as posições restantes, a partícula se move para a esquerda ou direita com igual probabilidade.

Se a partícula inicia o passeio na posição 0, a quantidade de passos necessários, em média, para ela retornar à posição 0 é

São métodos de simulação estática:

Considere a distribuição Beta!$ (1, \beta) !$ com função densidade de probabilidade !$ f(x)=\beta(1-x)^{\beta-1} !$, !$ x \, ∈ [0,1] !$. Usando o método da transformação inversa para gerar números aleatórios X de Beta!$ (1,\beta) !$ e considerando que a variável aleatória U é distribuída uniformemente no intervalo (0,1), temos que X é obtido por

Um grupo de N = 100 coelhos está sendo usado em um estudo nutricional. Os pesos antes do início do estudo são registrados para cada coelho. A média desses pesos é de 3,3 kg. Após dois meses, o experimentador deseja obter uma estimativa do peso médio dos coelhos. O pesquisador seleciona n = 10 coelhos aleatoriamente e os pesa. Os pesos originais e os pesos atuais desses 10 coelhos são apresentados na tabela a seguir.

Considere r como a estimativa resultante do estimador razão e !$ \hat{\mu}_y !$ a média estimada atual dos 100 coelhos com respectiva variância estimada !$ \hat{V}(\hat{\mu}_y)=({\large{N-m \over nN}})s^2_r !$

Com base nessas informações,

Seja X uma variável aleatória com distribuição beta com função densidade

!$ f_x(x)= \begin{cases}3x^2 \quad \,se\, 0< x<1 \\ 0 \, \text{caso contrário} \end{cases} !$

Considere a distribuição Y ~ U (0,1) , onde U (0,1) é uma distribuição uniforme padrão, e o interesse é na simulação de observações da variável aleatória X, pelo método de aceitação/rejeição. Com essa finalidade, foram obtidos os seguintes pares de números pseudoaleatórios das variáveis Y e U:

Os dois valores aceitos como observações de X, considerando os cinco pares de valores obtidos, são:

Quanto às técnicas de amostragem,

Para responder a questão., considere as informações abaixo.

Considerando uma amostra aleatória de n pares de valores de duas variáveis, X_i e Y_i, com i = 1, 2, ..., n e admitindo-se que Y é função linear de X, pode-se estabelecer uma regressão linear simples da forma Y_i = β_o + β₁X_i + e_i , onde β_o e β₁ são parâmetros desconhecidos, X é a variável independente e Y é a variável dependente. O erro e_i é uma série de valores independentes e identicamente distribuídos com e_i ~N(0,σ²) .

Considere uma amostra aleatória de 10 pares de valores de duas variáveis, X_i e Y_i, com i = 1,2, ..., 10.

Dado que !$ \sum_{i=1}^{10} x_i=120 !$, !$ \sum_{i=1}^{10} y_i=2000 !$; !$ \sum_{i=1}^{10} x^2_i=1490 !$; !$ \sum_{i=1}^{10} y^2_i=403300 !$ e !$ \sum_{i=1}^{10} xy=24330 !$

A estimação dos parâmetros !$ \hat{\beta}_0 !$ e !$ \hat{\beta}_1 !$ pelo método dos mínimos quadrados fornece, respectivamente, os valores

Para responder a questão., considere as informações abaixo.

Considerando uma amostra aleatória de n pares de valores de duas variáveis, X_i e Y_i, com i = 1, 2, ..., n e admitindo-se que Y é função linear de X, pode-se estabelecer uma regressão linear simples da forma Y_i = β_o + β₁X_i + e_i , onde β_o e β₁ são parâmetros desconhecidos, X é a variável independente e Y é a variável dependente. O erro e_i é uma série de valores independentes e identicamente distribuídos com e_i ~N(0,σ²) .

Se para uma amostra aleatória de 100 pares de valores referentes a um estudo específico o intervalo de confiança de 95% calculado para β₁ é dado por [−1,2;1,8] e considerando o nível de significância de 5%, então

Quanto aos testes não paramétricos, é correto afirmar