Considere uma amostra aleatória de tamanho \( n \) de variáveis aleatórias contínuas, \( X_i \), independentes e identicamente distribuídas, com média \( \mu \) e variância \( V \) finitas e desconhecidas. Considere, ainda, \( M_X \) e \( S^2 \) como a média e a variância amostral, respectivamente. Considere, por fim, que \( Y_i = I(X_i < b) \), com \( b \) fixo, em que a função \( I \) será igual a 1 se a condição do argumento for verdadeira e igual a 0, se for falsa.

Tendo como referência as informações apresentadas, julgue o item que se segue.

Se a distribuição das variáveis aleatórias \( X \) for normal, então a distribuição amostral de \( \dfrac{M_X - \mu}{ \sqrt{V/n}} \) seguirá uma distribuição \( T \) com \( n-1 \) graus de liberdade.

Considere uma amostra aleatória de tamanho \( n \) de variáveis aleatórias contínuas, \( X_i \), independentes e identicamente distribuídas, com média \( \mu \) e variância \( V \) finitas e desconhecidas. Considere, ainda, \( M_X \) e \( S^2 \) como a média e a variância amostral, respectivamente. Considere, por fim, que \( Y_i = I(X_i < b) \), com \( b \) fixo, em que a função \( I \) será igual a 1 se a condição do argumento for verdadeira e igual a 0, se for falsa.

Tendo como referência as informações apresentadas, julgue o item que se segue.

A distribuição amostral de \( \dfrac{1}{n} \sum_{i=1}^n Y_i \) é normal com média \( p = P (X < b) \) e variância \( p (1 - p)/n \) para qualquer valor de n.

Considerando que \( X_1, X_2, \ldots, X_n \) seja uma sequência de variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas com \( E[X_i] = \mu < \infty \), que o operador \( P() \) retorna a probabilidade do seu argumento e que \( M_n = \dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i \), julgue os itens subsequentes.

Se a variância das Xi for não limitada, então, a lei fraca, a lei forte e o teorema central do limite não serão aplicáveis a M_n.

Considere uma variável aleatória contínua X cuja função densidade de probabilidade, f(x), seja dada por

\( f(x) = { \begin{cases}\,\,\,0,se\,|x| > a\\ \dfrac{a + x}{a^2},se -a < x < 0;\\\dfrac{a -x}{a^2},se\,0 < x < a \end{cases}} \)

Considere também que uma variável aleatória U[m, n] tenha distribuição uniforme no intervalo [m,n] .

Com base nessa situação hipotética, julgue o próximo item.

X pode ser gerada como a média de duas variáveis uniformes U[−a ,a ] independentes.

Considere uma variável aleatória contínua X cuja função densidade de probabilidade, f(x), seja dada por

\( f(x) = { \begin{cases}\,\,\,0,se\,|x| > a\\ \dfrac{a + x}{a^2},se -a < x < 0;\\\dfrac{a -x}{a^2},se\,0 < x < a \end{cases}} \)

Considere também que uma variável aleatória U[m, n] tenha distribuição uniforme no intervalo [m,n] .

Com base nessa situação hipotética, julgue o próximo item.

A variância de X é \( \dfrac{a^2}{3} \).

Considere uma variável aleatória contínua X cuja função densidade de probabilidade, f(x), seja dada por

\( f(x) = { \begin{cases}\,\,\,0,se\,|x| > a\\ \dfrac{a + x}{a^2},se -a < x < 0;\\\dfrac{a -x}{a^2},se\,0 < x < a \end{cases}} \)

Considere também que uma variável aleatória U[m, n] tenha distribuição uniforme no intervalo [m,n] .

Com base nessa situação hipotética, julgue o próximo item.

E [X³] = 0