Uma célula do sistema Kanban de manufatura enxuta para o enésimo processo/estágio de produção é vista na figura abaixo. Suponha um horizonte de planejamento discretizado em períodos T, isto é t = {1,2,3...T}, e um sistema composto de N estágios, isto é n = {1,2,3...N}, e que os cartões destacados do estoque em processo em t só se tornam ordens de produção em (t+1).

Célula do sistema Kanban Fonte: Banca Examinadora, 2026.

Em que:

U_n é fila de cartões esperando produção no processo P_n. X_n é a taxa de produção do processo P_n. V_n é o nível de estoque-em-processo no pulmão I_n. Y_n = X_s(n) é taxa de pordução do processo sucessor de P_n.

Há um modo de operação do sistema Kanban denominado de conteiner-para-conteiner, em que cada conteiner de estoque em processo em In é suficiente para produzir exatamente um conteiner no pulmão do processo sucessor do estágio n, I_s(n), garantindo assim, a inexistência de recortes de estoque-em-processo. Esse modus operandi também reduz o problema de gestão do sistema como um todo a especificar o tamanho inicial de U_n⁰ e V_n⁰ de maneira a cobrir a maior diferença de velocidade entre processos subsequentes durante o horizonte de planejamento, garantindo assim, o seu equilíbrio. Sobre esse modo de operação pode-se afirmar que:

Seja a programação de produção dada a seguir num sistema de produção do tipo Flow Shop com duas máquinas, M₁ e M₂:

Determine o sequenciamento ótimo usando o Algoritmo de Johnson. A seguir, calcule o tempo total para completar a sequência de tarefas (Makespan) e marque a opção correta.

Seja a programação de produção dada a seguir num sistema de produção do tipo Flow Shop com duas máquinas, M₁ e M₂:

Qual é sequência ótima para esse conjunto de tarefas usando o Algoritmo de Johnson?

Seja a tabela final SIMPLEX dada abaixo.

Fonte: Applied Mathematical Programming MIT Press - Capítulo 3 Seção 3.2 - pp. 77 78, disponível em https://web.mit.edu/15.053/www/AMP.htm.

Outra forma para os planos de corte fracionários de Gomory faz uso da função piso, que arredonda valores fracionários para o inteiro imediatamente inferior:

Aqui x_n faz referência aos índices das variáveis não básicas da tabela. Ao aplicar a equação para a segunda linha da tabela, em que x₆ é a variável básica, o plano de corte gerado seria:

Seja o programa inteiro dado a seguir e sua árvore Branch and Bound:

Fonte:"Branch-And-Bound Methods for Integer Programming' by J.E.Mitchell, disponivel em http:// eaton.math.rpi.edu/faculty/Mitchell/papers/leeejem.pdf ou https://mitchjrpi.github.io/papers/leeejem.html.

Considerando que ramos da árvore Branch and Bound podem ser podados por integralidade, inviabilidade ou qualidade, quantos dos três (03) nodos-folha (terminais) da árvore acima podem ser podados?

Seja o problema de gestão de projetos (PERT/CPM) dado a seguir:

Activity-on-Arc PERT/CPM Network

Fonte: Optimization Modelling with LINGO Lindo Systems Inc. 5a. Edição disponível em https://www.lindo.com/downloads/LINGO_text Chapter8.pdf.

Ao estimar o número de planos-de-corte necessários para determinar o caminho crítico integral para realização do projeto completo, encontra-se:

Observe a forma geral dos Planos de Corte Fracionários de Gomory em que f_kj e f_k0 correspondem às partes fracionárias (não-integrais) positivas dos coeficientes das variáveis não-básicas e dos termos independentes da tabela final SIMPLEX.

\( \sum_{j ∈ I _N} f_{kj}x_j \) > \( f_{k0}. \)

Fonte: Otimização Linear Editora UnB - Capítulo 10 Seção 10.2 - pp. 199, disponível em https://marciafampa.com/pdf/Otimizacao-Linear- Maculan-Fampa.pdf.

Considere a tabela final SIMPLEX dada a seguir e observe que os termos independentes são arrolados na coluna x 0, quantos planos de corte no formato dado acima estariam violados?

Observe o politopo SIMPLEX ilustrado abaixo.

Iterações do método primal do simplex

Fonte: Otimização Linear Editora UnB - Capítulo 3 Seção 3.2 - pp. 23, https://marciafampa.com/pdf/Otimizacao-Linear-Maculan-Fampa.pdf.

Nessa instância, a sequência de bases percorrida pelo algoritmo primal SIMPLEX é (0,0), (0,6) e (2,6), quando então o algoritmo prova a otimalidade da última solução extremal. Assumindo ausência de degeneração e sabendo que a expressão geral para os custos reduzidos SIMPLEX pode ser reduzida a [ u^T A - c^T ] x, os valores que são avaliados para essa expressão em cada solução extremal para x₁ e x₂, respectivamente, são:

Seja a tabela SIMPLEX final abaixo.

Fonte: Applied Mathematical Programming MIT Press - Capítulo 3 Seção 3.2 - pp. 78, https://web.mit.edu/15.053/www/AMP.htm.

Na solução ótima acima os valores ótimos das variáveis duais são u = [ (-11/14), (-1/35), (0) ]. Para que um produto novo cuja coluna da matriz A é a_N^T = [ 3, 2, 1 ] possa entrar no mix de produção, qual deve ser seu coeficiente na função-objetivo?

Observe as tabelas SIMPLEX inicial e final abaixo.

Fonte: Applied Mathematical Programming MIT Press - Capítulo 3 Seção 3.2 - pp. 77 78, https://web.mit.edu/15.053/www/AMP.htm.

Na solução ótima são básicas as variáveis: