Para suas análises econômicas e sociais, um pesquisador necessita ter uma estimativa da renda média familiar de uma população composta de 10 mil famílias. Com a finalidade de atender às necessidades do pesquisador, uma pesquisa de campo será realizada, e uma amostra aleatória simples será delineada e selecionada, sem reposição. Uma das exigências do pesquisador é que a estimativa a ser realizada, através da média amostral, difira da verdadeira média em, no máximo, R$ 20,00, e que isso ocorra com probabilidade de 95%. Assumindo-se que o desvio padrão da renda familiar seja de R$ 200,00, o tamanho da amostra, necessário para atender às exigências do pesquisador, no mínimo, deverá ser

Seja !$ \{ \text{X}_\text{n}; \text{n} \in \mathbb{N} \} !$ uma Cadeia de Markov com espaço de estados E = {1, 2}, matriz de transição em uma etapa dada por !$ \begin{bmatrix} ^3/_4 & ^1/_4 \\ ^1/_2 & ^1/_2 \end{bmatrix} !$ e vetor de probabilidades iniciais igual a !$ \begin{bmatrix} ^1/_3 & ^2/_3 \end{bmatrix} !$. Então P(X₂ = 2) é igual a

Considere o clássico problema da ruína do jogador A que, em cada etapa do jogo, tem probabilidade p de vencer e ganhar uma unidade do capital de seu adversário, cuja probabilidade de vencer é q = 1 - p. As etapas do jogo são independentes, o capital inicial de A é igual a z, e o de B é igual a a-z. O jogo termina quando um dos jogadores se arruína.

A probabilidade q_z de ruína do jogador A pode ser obtida através da solução de uma equação de diferenças finitas de segunda ordem da forma

q_z = qq_z-1 + pq_z+1 !$ \quad\quad !$ 0 !$ \le !$ z !$ \le !$ a

A solução desta equação envolverá duas constantes, que serão determinadas a partir da consideração de dois valores iniciais da função q_z, que são

Seja !$ \{ \text{X}_\text{t}; \text{t} \in \mathfrak{R} \} !$ um processo estocástico de Poisson de parâmetro !$ \lambda !$, ou seja, X_t se identifica ao número de eventos aleatórios E, que ocorrem no intervalo de tempo (0,t]. Seja T o tempo eventual decorrido entre um instante inicial 0 e a primeira ocorrência do evento E, regulado por uma lei de Poisson (!$ \lambda !$). A variável aleatória T tem distribuição

Uma variável aleatória X, com distribuição binomial de parâmetros (p,N), é dita ter distribuição composta se N

Considere a matriz P de transição, em uma etapa de uma Cadeia de Markov, com espaço de estados E = {1,2,3,4,5,6,7,8}, apresentada abaixo.

P = !$ \begin{bmatrix} 0,4 & 0,3 & 0,3 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0,6 & 0,4 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0,5 & 0,5 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0,8 & 0,2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0,4 & 0,6 & 0 \\ 0,4 & 0,4 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0,2 \\ 0,1 & 0 & 0,3 & 0 & 0 & 0,6 & 0 & 0 \end{bmatrix} !$

Nesta Cadeia, três classes de estados estão definidas, quais sejam:

!$ \text{A} = \{ 1,2,3 \} \quad\quad \text{B} = \{ 4,5 \} \quad\quad \text{C} = \{ 6, 7, 8 \} !$

Sendo assim, pode-se afirmar que

Seja !$ \{ \text{X}_\text{n} \ ; \text{n} \in \mathbb{N} \} !$ uma Cadeia de Markov com espaço de estados !$ \text{E} = \{ 1,2,3,\cdots,\text{h} \} !$.

A matriz de transição em uma etapa da Cadeia, ou seja !$ \text{P} = [\text{P}_{\text{i,j}}] !$, é uma matriz estocástica se e somente se

Utilizando o processo Forward Selection, a melhor regressão foi obtida tendo como variáveis explicativas X₁ e X₂, com as variáveis entrando nessa ordem. Os resultados obtidos são apresentados a seguir.

A tabela ANOVA para o modelo Y = !$ \beta !$₀ + !$ \beta !$₁X₁ + !$ \epsilon !$ é:

ANOVA - Modelo Y = !$ \beta !$₀ + !$ \beta !$₁X₁ + !$ \epsilon !$

A tabela ANOVA para o modelo Y = !$ \beta !$₀ + !$ \beta !$₁X₁ + !$ \beta !$₂X₂ + !$ \epsilon !$ é:

ANOVA - Modelo Y = !$ \beta !$₀ + !$ \beta !$₁X₁ + !$ \beta !$₂X₂ + !$ \epsilon !$

Com base nesses resultados, qual a decisão sobre H₀ : !$ \beta !$₂ = 0 versus H₁ : !$ \beta !$₂ !$ \ne !$ 0, utilizando nível de 5% de significância?

Um concurso para um cargo público aprovou 10 candidatos. Após um período de estágio probatório de dois anos, os aprovados foram submetidos a um novo exame. A tabela a seguir mostra os resultados do concurso público e os escores do exame realizado depois do estágio probatório.

Utilizou-se a Prova de Wilcoxon para testar:

!$ \begin{cases} \text{H}_0 : \text{Não existe diferença entre as notas} \\ \text{H}_1 : \text{Existe diferença entre as notas} \\ \end{cases} !$

Nos níveis de significância de 5% e 10%, pode-se fazer alguma afirmação sobre a hipótese nula?

Os dados a seguir são provenientes de uma análise preliminar de 500 pacientes inscritos no Programa de Tratamento de Obesidade, em um grande hospital do Rio de Janeiro. Considere as duas variáveis: sexo do paciente e grau de obesidade (0 = baixo, 1= médio e 2= alto).

Deseja-se testar, usando o teste qui-quadrado, se existe dependência entre as variáveis sexo e grau de obesidade.

!$ \begin{cases} \text{H}_0 : \text{o grau de obesidade independe do sexo.} \\ \text{H}_1 : \text{o grau de obesidade depende do sexo.} \end{cases} !$

Utilizando os níveis de significância de 1%, 5% e 10%, a decisão sobre a hipótese nula é