Um número \( m \in \mathbb {N} \) , ao ser multiplicado por 16, resulta em um número com 231 divisores inteiros positivos. Considere as afirmações:

I. \( m \) é um número par.

II. \( m \) é um quadrado perfeito.

III. \( 16m \) tem 3 fatores primos distintos.

É(São) VERDADEIRA(S):

Seja \( H \) uma hipérbole no plano cartesiano cujos focos são comuns aos focos da elipse \( E : {\large x^2 \over 4 } + y^2 = 1 \). Seja \( P \) um ponto de intersecção de \( E \) e \( H \) no primeiro quadrante e \( O \) a origem do sistema cartesiano. Sabendo que \( \overline {OP} \) forma um ângulo \( \theta \) com o eixo horizontal \( O_x \), con tan \( (\theta) = {\large \sqrt 3 \over 6} \), a excentricidade de \( H \) é

Uma raiz comum aos polinômios \( p (x) = x^5 - x^3 + 12x - 18 \) e \( q (x) = x^4 - x^3 + 5x -3 \) é

Considere a função

\( f (x) ={ \sqrt {\large 2 sen (2x + 2sen (x) - 2 cos (x) - 1} \over {8 (cos (2x) + 1} )} \)

Seja I = \( (a, b) \) o intervalo de maior comprimento contido em [\( - \pi, 2\pi \)] tal que \( f (x) \) está definida para todo \( x \in I \) I. O valor de a + b é

Sejam \( m, n \) e \( k \) números reais. Considere os sistemas abaixo:

I: \( \begin{cases} x + y +z = 1 \\ x + 2y - z = 2 \\ 2x + y + 4z = 1 \end{cases} \)

II: \( \begin{cases} x + y + z = 1 \\ x + my + nz = 5 \\ kx + y - z = 3m + 2n \end{cases} \)

Sabendo-se que os dois sistemas são equivalentes (isto é, possuem o mesmo conjunto solução), o valor de \( k \) é

O conjunto de todos os valores \( a \in \mathbb {R} \) para os quais a equação \( 9^x - (3a + 4) 3^x + 2a^2 + 9a -5 = 0 \) tem duas soluções reais distintas é

Sejam \( (a_n) n \in \mathbb {N} \) e \( (b_n) n \in \mathbb {N} \) duas sequências numéricas tais que

\( S_n = \sum_{k = 1}^{n} a_k = b_{n + 1} - b_1 \) para todo \( n \in \mathbb {N} \)

Considere as afirmações abaixo:

I. Se \( (b_n) n \in \mathbb {N} \) é uma PG, então \( (a_n) n \in \mathbb {N} \) também é PG.

II. Se \( (a_n) n \in \mathbb {N} \) é uma PG, então \( (b_n) n \in \mathbb {N} \) também é PG.

III. Se \( (a_n) n \in \mathbb {N} \) é uma PA, então \( (S_n) n \in \mathbb {N} \) também é PA.

Está(ão) correta(s):

Sejam \( f (x) \) e \( g (x) \) funções reais definidas para todo \( x \in \mathbb{R} \). Se para todo x > 0 vale a igualdade \( g (x^2) = f (2x^2 -x +1) \), podemos afirmar que

O termo independente da expansão de \( \begin {pmatrix} x + {\large 1 \over x} \end{pmatrix}^6 \) \( \begin {pmatrix} x - {\large 2 \over x} \end{pmatrix}^5 \) é

Considere as afirmações:

I. Existe um poliedro formado por 3 faces triangulares e as demais faces quadrangulares.

II. Existe um poliedro não convexo com 5 vértices, 9 arestas e 6 faces.

III. Existe um poliedro convexo com 7 vértices, 16 arestas e 11 faces.

Está(ão) correta(s):