Em coordenadas cartesianas, uma função f in C^2 é dita harmônica se

\(\dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2} = 0\)

Já em coordenadas polares, pode-se verificar se f é harmônica se tal função satisfaz

\( \dfrac{1}{r} \dfrac{\partial}{\partial r} \left( r \dfrac{\partial u}{\partial r} \right) + \dfrac{1}{r^2} \dfrac{\partial^2 u}{\partial \theta^2} = 0 \)

Assinale a alternativa que apresenta uma função u (r,θ) em coordenadas polares que é harmônica.

Considerando f:\(\mathbb{R}\)²→\(\mathbb{R}\)² de classe C¹, analise as assertivas e assinale a alternativa a alternativa correta.

I. Se para todo ponto u ∈ \(\mathbb{R}\) existe uma vizinhança de u na qual f restrita a tal vizinhança é um difeomorfismo local, então f é um difeomorfismo sobre a sua imagem.

II. Dado um ponto u ∈ \(\mathbb{R}\), se existir K > 0 para o qual |f’(u)⋅v|≥K|v|, para todo v ∈ \(\mathbb{R}\)², então f é um difeomorfismo local em uma vizinhança de u.

III. Se existir u ∈ \(\mathbb{R}\) ponto singular de f, então não tem como f ser um difeomorfismo sobre sua imagem.

Uma equipe de estudantes realizou um experimento em um laboratório para analisar algumas propriedades físicas de um líquido. Durante o procedimento, foram obtidas as seguintes informações: O líquido foi aquecido durante 15 minutos, passando de 20°C para 35°C. Em seguida, foram colocados 1,5 litros desse líquido em um recipiente cilíndrico com 20 cm de altura e 10 cm de raio da base. A massa do líquido colocado no recipiente foi medida como 1,6 kg e depois o recipiente foi transportado por um carrinho que percorreu 120 metros até outra sala do laboratório. Considerando que 1 L = 1000 cm³, analise as afirmações a seguir:

I. O carrinho percorreu 1,2 hectômetros

II. O líquido foi aquecido durante 0,25 segundos

III. A variação de temperatura do líquido foi de 15 °C

IV. A área da base do recipiente cilíndrico é de 100\( \pi \)² cm².

V. O volume do recipiente cilíndrico é de 2000 cm³, o que equivale a uma capacidade de 2 litros.

Após análise, conclui-se que estão corretas:

Considerando que todos os aspectos planejados no âmbito do projeto a que se refere a situação hipotética em apreço ocorram conforme o planejamento, julgue o item a seguir.

Um trem parta de Recife às 5 h estará às 15 h 25 min em algum ponto entre as cidades de Goiana e Alhandra.

Toda a produção mensal de um produto de uma fábrica foi vendida a três lojas. Para a loja A, foi vendida metade da produção, para a loja B foram vendidos 1/3 da produção e para a loja C foram vendidas 2.500 unidades. Quantas unidades foram vendidas para Loja A?

Em um grupo de 100 bombeiros, foi realizado um levantamento sobre suas especializações em três áreas críticas: Combate a Incêndios Florestais (F), Resgate em Desabamentos (D) e Atendimento Pré-Hospitalar (APH). Os dados coletados foram que 50 bombeiros são especializados em Combate a Incêndios Florestais (F), 45 bombeiros são especializados em Resgate em Desabamentos (D), 40 bombeiros são especializados em Atendimento Pré-Hospitalar (APH), 20 bombeiros são especializados em F e D, 18 bombeiros são especializados em F e APH, 15 bombeiros são especializados em D e APH e 8 bombeiros são especializados nestas três áreas (F, D e APH)

Sabe-se que todos os 100 bombeiros possuem pelo menos uma dessas três especializações, então temos que o total de bombeiros possuem especialização em apenas uma dessas áreas é igual a:

Marcos e Paulo trabalharam juntos em um determinado serviço. Marcos trabalhou durante 3 horas e Paulo durante 2 horas. O serviço todo rendeu para os dois juntos R$ 400,00.

Se eles fizeram uma divisão justa (proporcional às horas trabalhadas), quanto recebeu cada um?

O volume do sólido

\( S = \left\{ (x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \mid 4 \le x^2 + y^2 + z^2 \le 9, z \ge \sqrt{x^2 + y^2} \right\} \)

é igual a:

A primitiva F(x) da função \( f: \mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}^+ \) , onde f(x) = \( x^2 \pi^{\ln x}, \) é:

Um designer pretende criar um logotipo formado por duas elipses, sendo a primeira com equação \( \dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{16}=1 \) (elipse original). Já a segunda elipse, denominada por ele de “Elipse inclinada”, será obtida a partir de uma rotação da elipse original em torno do próprio centro, em sentido anti-horário, conforme um ângulo \( \theta\ =\dfrac{\pi}{4}rad \) . Para isso, fez o esboço ilustrativo abaixo, onde F₁ e F₂ são os focos da elipse original.