Considere o seguinte Modelo de Equações Simultâneas e os métodos de estimação Mínimos Quadrados Ordinários e Mínimos Quadrados em Dois Estágios:

!$ y_1=a_0+a_1y_2+a_2x_1+a_3x_2+ε !$ (1),

!$ y_2= \beta_0 + \beta_1 y_1+ \beta_2x_1+ \beta_3 x_3+ η !$ (2),

em que !$ ε !$ e !$ η !$ são componentes aleatórios, !$ y_1 !$ e !$ y_2 !$ são as variáveis endógenas e !$ x_1 !$, !$ x_2 !$ e !$ x_3 !$ são as variáveis exógenas do modelo. Julgue a afirmativa a seguir:

Item 4 - Se !$ \beta_2=0 !$, !$ \alpha_1 \ne 0 !$, !$ \beta_1 \ne 0 !$ e !$ \beta_3 \ne 0 !$, a estimação da equação (1) por Mínimos Quadrados em dois estágios irá gerar estimadores viesados e inconsistentes.

Considere o seguinte Modelo de Equações Simultâneas e os métodos de estimação Mínimos Quadrados Ordinários e Mínimos Quadrados em Dois Estágios:

!$ y_1=a_0+a_1y_2+a_2x_1+a_3x_2+ε !$ (1),

!$ y_2= \beta_0 + \beta_1 y_1+ \beta_2x_1+ \beta_3 x_3+ η !$ (2),

em que !$ ε !$ e !$ η !$ são componentes aleatórios, !$ y_1 !$ e !$ y_2 !$ são as variáveis endógenas e !$ x_1 !$, !$ x_2 !$ e !$ x_3 !$ são as variáveis exógenas do modelo. Julgue a afirmativa a seguir:

Item 3 - Se !$ \beta_2 ≠ 0 !$, então a equação (1) será exatamente identificada.

Considere o seguinte Modelo de Equações Simultâneas e os métodos de estimação Mínimos Quadrados Ordinários e Mínimos Quadrados em Dois Estágios:

!$ y_1=a_0+a_1y_2+a_2x_1+a_3x_2+ε !$ (1),

!$ y_2= \beta_0 + \beta_1 y_1+ \beta_2x_1+ \beta_3 x_3+ η !$ (2),

em que !$ ε !$ e !$ η !$ são componentes aleatórios, !$ y_1 !$ e !$ y_2 !$ são as variáveis endógenas e !$ x_1 !$, !$ x_2 !$ e !$ x_3 !$ são as variáveis exógenas do modelo. Julgue a afirmativa a seguir:

Item 2 - A estimação por Mínimos Quadrados Ordinários das equações (1') e (2') geram estimadores viesados de !$ θ_0 !$, !$ θ_1 !$, !$ θ_2 !$, !$ θ_3 !$, !$ λ_0 !$, !$ λ_1 !$, !$ λ_2 !$, !$ λ_3 !$.

Considere o seguinte Modelo de Equações Simultâneas e os métodos de estimação Mínimos Quadrados Ordinários e Mínimos Quadrados em Dois Estágios:

!$ y_1=a_0+a_1y_2+a_2x_1+a_3x_2+ε !$ (1),

!$ y_2= \beta_0 + \beta_1 y_1+ \beta_2x_1+ \beta_3 x_3+ η !$ (2),

em que !$ ε !$ e !$ η !$ são componentes aleatórios, !$ y_1 !$ e !$ y_2 !$ são as variáveis endógenas e !$ x_1 !$, !$ x_2 !$ e !$ x_3 !$ são as variáveis exógenas do modelo. Julgue a afirmativa a seguir:

Item 1 - Se !$ \alpha_1=0 !$ e !$ \beta_3 ≠0 !$, então a estimação da equação (1) por Mínimos Quadrados em dois estágios gerará estimadores com maior variância que os estimadores obtidos por Mínimos Quadrados Ordinários.

Considere o seguinte Modelo de Equações Simultâneas e os métodos de estimação Mínimos Quadrados Ordinários e Mínimos Quadrados em Dois Estágios:

!$ y_1=a_0+a_1y_2+a_2x_1+a_3x_2+ε !$ (1),

!$ y_2= \beta_0 + \beta_1 y_1+ \beta_2x_1+ \beta_3 x_3+ η !$ (2),

em que !$ ε !$ e !$ η !$ são componentes aleatórios, !$ y_1 !$ e !$ y_2 !$ são as variáveis endógenas e !$ x_1 !$, !$ x_2 !$ e !$ x_3 !$ são as variáveis exógenas do modelo. Julgue a afirmativa a seguir:

Item 0 - As equações na forma reduzida são dadas por:

!$ y_1= θ_0+θ_1x_1+θ_2x_2+θ_3x_3+ ∈ !$ (1'),

!$ y_2=λ_0+λ_1 x_1+λ_2x_2+λ_3x_3+v !$ (2'),

em que

!$ θ_0={\large{a_0+a_1 \beta_0 \over 1-\alpha_1 \beta_1}} !$, !$ θ_1={\large{\alpha_2+\alpha_1 \beta_2 \over 1-\alpha_1 \beta_1}} !$, !$ θ_2={\large{\alpha_3 \over 1-\alpha_1 \beta_1}} !$, !$ θ_3={\large{\alpha_1 \beta_3 \over 1- \alpha_1 \beta_1}} !$, e !$ ∈={\large{\alpha_1 η+ε \over 1- \alpha_1 \beta_1}} !$;

e

!$ λ_0={\large{\beta_0+\alpha_0 \beta_1 \over 1- \alpha_1 \beta_1}} !$, !$ λ_1={\large{\beta_2+\alpha_2 \beta_1 \over 1- \alpha_1 \beta_1}} !$, !$ λ_2={\large{\alpha_3 \beta_1 \over 1- \alpha_1 \beta_1}} !$,

!$ λ_3={\large{ \beta_3 \over 1- \alpha_1 \beta_1}} !$, !$ v={\large{η+ \beta_1 ε \over 1- \alpha_1 \beta_1}} !$.

Considere o Modelo de Regressão Linear abaixo:

(1) !$ Y=\beta_0+\beta_1X_1+\beta_2X_2+u !$,

em que não há colinearidade perfeita e uma amostra aleatória da população com !$ n !$ observações !$ \{(X_{1i},X_{2i},Y_i) : i=1,2, \cdots, n\} !$ está disponível. Além disso, as seguintes condições são válidas: !$ cov (X_1, u)=0 !$, !$ cov(X_1,X_2) ≠ 0 !$, e !$ cov (X_2, u)=0 !$.

Suponha, porém, que sejam estimados os seguintes modelos por Mínimos Quadrados Ordinários (MQO):

(2) !$ Y=a_0+a_1X_1+ \tilde{u} !$,

(3) !$ X_2=δ_0+δ_1X_1+v !$,

em que !$ cov(X_1, v)=0 !$.

Definindo !$ \widehat{a}_0 !$ como o estimador de MQO para o parâmetro !$ a_0 !$, e !$ \widehat{a}_1 !$ como o estimador de MQO para o parâmetro !$ a_1 !$ na equação (2), e também como o estimador de MQO para o parâmetro !$ δ_0 !$, e !$ \widehat{δ}_1 !$ como o estimador de MQO para o parâmetro !$ δ_1 !$ na equação (3), é certo ou errado a afirmativa:

Item 4 - Quando !$ n !$ tende ao infinito, !$ \hat{δ}_0 !$ tende para !$ δ_0 !$.

Considere o Modelo de Regressão Linear abaixo:

(1) !$ Y=\beta_0+\beta_1X_1+\beta_2X_2+u !$,

em que não há colinearidade perfeita e uma amostra aleatória da população com !$ n !$ observações !$ \{(X_{1i},X_{2i},Y_i) : i=1,2, \cdots, n\} !$ está disponível. Além disso, as seguintes condições são válidas: !$ cov (X_1, u)=0 !$, !$ cov(X_1,X_2) ≠ 0 !$, e !$ cov (X_2, u)=0 !$.

Suponha, porém, que sejam estimados os seguintes modelos por Mínimos Quadrados Ordinários (MQO):

(2) !$ Y=a_0+a_1X_1+ \tilde{u} !$,

(3) !$ X_2=δ_0+δ_1X_1+v !$,

em que !$ cov(X_1, v)=0 !$.

Definindo !$ \widehat{a}_0 !$ como o estimador de MQO para o parâmetro !$ a_0 !$, e !$ \widehat{a}_1 !$ como o estimador de MQO para o parâmetro !$ a_1 !$ na equação (2), e também como o estimador de MQO para o parâmetro !$ δ_0 !$, e !$ \widehat{δ}_1 !$ como o estimador de MQO para o parâmetro !$ δ_1 !$ na equação (3), é certo ou errado a afirmativa:

Item 3 - Quando !$ n !$ tende ao infinito, a variância de !$ \hat{δ}_1 !$ condicionada em !$ X_1 !$ tende para zero.

Considere o Modelo de Regressão Linear abaixo:

(1) !$ Y=\beta_0+\beta_1X_1+\beta_2X_2+u !$,

em que não há colinearidade perfeita e uma amostra aleatória da população com !$ n !$ observações !$ \{(X_{1i},X_{2i},Y_i) : i=1,2, \cdots, n\} !$ está disponível. Além disso, as seguintes condições são válidas: !$ cov (X_1, u)=0 !$, !$ cov(X_1,X_2) ≠ 0 !$, e !$ cov (X_2, u)=0 !$.

Suponha, porém, que sejam estimados os seguintes modelos por Mínimos Quadrados Ordinários (MQO):

(2) !$ Y=a_0+a_1X_1+ \tilde{u} !$,

(3) !$ X_2=δ_0+δ_1X_1+v !$,

em que !$ cov(X_1, v)=0 !$.

Definindo !$ \widehat{a}_0 !$ como o estimador de MQO para o parâmetro !$ a_0 !$, e !$ \widehat{a}_1 !$ como o estimador de MQO para o parâmetro !$ a_1 !$ na equação (2), e também como o estimador de MQO para o parâmetro !$ δ_0 !$, e !$ \widehat{δ}_1 !$ como o estimador de MQO para o parâmetro !$ δ_1 !$ na equação (3), é certo ou errado a afirmativa:

Item 2 - Quando !$ n !$ tende ao infinito, !$ \hat{δ}_1 !$ tende para !$ δ_1+{\large{cov(X_1,v) \over Var(X_1)}}=δ_1 !$.

Considere o Modelo de Regressão Linear abaixo:

(1) !$ Y=\beta_0+\beta_1X_1+\beta_2X_2+u !$,

em que não há colinearidade perfeita e uma amostra aleatória da população com !$ n !$ observações !$ \{(X_{1i},X_{2i},Y_i) : i=1,2, \cdots, n\} !$ está disponível. Além disso, as seguintes condições são válidas: !$ cov (X_1, u)=0 !$, !$ cov(X_1,X_2) ≠ 0 !$, e !$ cov (X_2, u)=0 !$.

Suponha, porém, que sejam estimados os seguintes modelos por Mínimos Quadrados Ordinários (MQO):

(2) !$ Y=a_0+a_1X_1+ \tilde{u} !$,

(3) !$ X_2=δ_0+δ_1X_1+v !$,

em que !$ cov(X_1, v)=0 !$.

Definindo !$ \widehat{a}_0 !$ como o estimador de MQO para o parâmetro !$ a_0 !$, e !$ \widehat{a}_1 !$ como o estimador de MQO para o parâmetro !$ a_1 !$ na equação (2), e também como o estimador de MQO para o parâmetro !$ δ_0 !$, e !$ \widehat{δ}_1 !$ como o estimador de MQO para o parâmetro !$ δ_1 !$ na equação (3), é certo ou errado a afirmativa:

Item 1 - Quando !$ n !$ tende ao infinito, !$ \hat{\alpha}_1 !$ tende para !$ \beta_1+\beta_2 {\large{Cov(X_1,u) \over V ar(X_1)}}=\beta_1 !$.

Considere o Modelo de Regressão Linear abaixo:

(1) !$ Y=\beta_0+\beta_1X_1+\beta_2X_2+u !$,

em que não há colinearidade perfeita e uma amostra aleatória da população com !$ n !$ observações !$ \{(X_{1i},X_{2i},Y_i) : i=1,2, \cdots, n\} !$ está disponível. Além disso, as seguintes condições são válidas: !$ cov (X_1, u)=0 !$, !$ cov(X_1,X_2) ≠ 0 !$, e !$ cov (X_2, u)=0 !$.

Suponha, porém, que sejam estimados os seguintes modelos por Mínimos Quadrados Ordinários (MQO):

(2) !$ Y=a_0+a_1X_1+ \tilde{u} !$,

(3) !$ X_2=δ_0+δ_1X_1+v !$,

em que !$ cov(X_1, v)=0 !$.

Definindo !$ \widehat{a}_0 !$ como o estimador de MQO para o parâmetro !$ a_0 !$, e !$ \widehat{a}_1 !$ como o estimador de MQO para o parâmetro !$ a_1 !$ na equação (2), e também como o estimador de MQO para o parâmetro !$ δ_0 !$, e !$ \widehat{δ}_1 !$ como o estimador de MQO para o parâmetro !$ δ_1 !$ na equação (3), é certo ou errado a afirmativa:

Item 0 - Quando !$ n !$ tende ao infinito, !$ \hat{δ}_1 !$ se torna um estimador não tendencioso para !$ δ_1 !$.