Sejam X e Y variáveis aleatórias com função densidade de probabilidade conjunta dada por

X=1 X=2

Y=1 1/12 1/12

Y=2 1/4 1/6

Y=3 1/3 1/12

É correto afirmar que:

Item 4 - X e Y são variáveis aleatórias não correlacionadas.

Sejam X e Y variáveis aleatórias com função densidade de probabilidade conjunta dada por

X=1 X=2

Y=1 1/12 1/12

Y=2 1/4 1/6

Y=3 1/3 1/12

É correto afirmar que:

Item 3 - X e Y são variáveis aleatórias independentes.

Sejam X e Y variáveis aleatórias com função densidade de probabilidade conjunta dada por

X=1 X=2

Y=1 1/12 1/12

Y=2 1/4 1/6

Y=3 1/3 1/12

É correto afirmar que:

Item 2 - A esperança de X, condicional em Y = 2, é igual a 7/12.

Sejam X e Y variáveis aleatórias com função densidade de probabilidade conjunta dada por

X=1 X=2

Y=1 1/12 1/12

Y=2 1/4 1/6

Y=3 1/3 1/12

É correto afirmar que:

Item 1 - A variância de X é igual a 2.

Sejam X e Y variáveis aleatórias com função densidade de probabilidade conjunta dada por

X=1 X=2

Y=1 1/12 1/12

Y=2 1/4 1/6

Y=3 1/3 1/12

É correto afirmar que:

Item 0 - A esperança de X é igual a 4/3.

Considere o seguinte modelo de regressão linear:

!$ y_i=\beta_0+\beta_1x_i+ε_i !$

onde !$ (y_i,x_1) !$, !$ i=1, \cdots n !$, são variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas e as seguintes hipóteses são válidas: !$ E[ε_i \mid X_i]=0 !$ e !$ Var[ε_i \mid X_i]=σ^2 !$, !$ i=1, \cdots,n !$. Defina !$ \overline{ε}={\large{\textstyle \sum_{i=1}^n ε_i \over n}} !$ e assuma que !$ \textstyle \sum_{i=1}^n (x_i-\overline{x})^2 > 0 !$.

Baseado no modelo acima, podemos afirmar:

Item 4 - A hipótese !$ Var [ε_i \mid X_i]= σ^2 !$ é necessária para que o estimador de mínimos quadrados ordinários seja não-viesado.

Considere o seguinte modelo de regressão linear:

!$ y_i=\beta_0+\beta_1x_i+ε_i !$

onde !$ (y_i,x_1) !$, !$ i=1, \cdots n !$, são variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas e as seguintes hipóteses são válidas: !$ E[ε_i \mid X_i]=0 !$ e !$ Var[ε_i \mid X_i]=σ^2 !$, !$ i=1, \cdots,n !$. Defina !$ \overline{ε}={\large{\textstyle \sum_{i=1}^n ε_i \over n}} !$ e assuma que !$ \textstyle \sum_{i=1}^n (x_i-\overline{x})^2 > 0 !$.

Baseado no modelo acima, podemos afirmar:

Item 3 - A hipótese !$ E[ε_i \mid X_i]=0 !$ é suficiente para que o estimador de mínimos quadrados ordinários seja o mais eficiente entre todos os estimadores lineares não-viesados.

Considere o seguinte modelo de regressão linear:

!$ y_i=\beta_0+\beta_1x_i+ε_i !$

onde !$ (y_i,x_1) !$, !$ i=1, \cdots n !$, são variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas e as seguintes hipóteses são válidas: !$ E[ε_i \mid X_i]=0 !$ e !$ Var[ε_i \mid X_i]=σ^2 !$, !$ i=1, \cdots,n !$. Defina !$ \overline{ε}={\large{\textstyle \sum_{i=1}^n ε_i \over n}} !$ e assuma que !$ \textstyle \sum_{i=1}^n (x_i-\overline{x})^2 > 0 !$.

Baseado no modelo acima, podemos afirmar:

Item 2 - A hipótese !$ E[ε_i \mid X_i]=0 !$ é necessária para que o estimador de mínimos quadrados ordinários seja !$ \hat{\beta}_1 !$ não-viesado.

Considere o seguinte modelo de regressão linear:

!$ y_i=\beta_0+\beta_1x_i+ε_i !$

onde !$ (y_i,x_1) !$, !$ i=1, \cdots n !$, são variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas e as seguintes hipóteses são válidas: !$ E[ε_i \mid X_i]=0 !$ e !$ Var[ε_i \mid X_i]=σ^2 !$, !$ i=1, \cdots,n !$. Defina !$ \overline{ε}={\large{\textstyle \sum_{i=1}^n ε_i \over n}} !$ e assuma que !$ \textstyle \sum_{i=1}^n (x_i-\overline{x})^2 > 0 !$.

Baseado no modelo acima, podemos afirmar:

Item 1 - O estimador de mínimos quadrados ordinários é não correlacionado com !$ \overline{ε} !$, isto é, !$ E[( \hat{\beta}_1-\beta_1) \overline{ε}]=0 !$.

Considere o seguinte modelo de regressão linear:

!$ y_i=\beta_0+\beta_1x_i+ε_i !$

onde !$ (y_i,x_1) !$, !$ i=1, \cdots n !$, são variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas e as seguintes hipóteses são válidas: !$ E[ε_i \mid X_i]=0 !$ e !$ Var[ε_i \mid X_i]=σ^2 !$, !$ i=1, \cdots,n !$. Defina !$ \overline{ε}={\large{\textstyle \sum_{i=1}^n ε_i \over n}} !$ e assuma que !$ \textstyle \sum_{i=1}^n (x_i-\overline{x})^2 > 0 !$.

Baseado no modelo acima, podemos afirmar:

Item 0 - O estimador de mínimos quadrados ordinários para !$ \beta_1 !$ pode ser escrito como, !$ \hat{\beta}_1=\beta_1+ \textstyle \sum_{i=1}^n w_i ε_i !$, onde !$ w_i={\large{x_i- \bar{x} \over \textstyle \sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2}} !$.