Um sistema de controle em malha fechada do tipo Proporcional-Integral-Derivativo (PID) com ganho proporcional, K_p , tempo integral, T_i , e tempo derivativo, T_d , é proposto para uma planta, como pode ser observado no diagrama de blocos (Figura 4) abaixo:
Figura 4
A lei de controle do controlador PID no domínio s, na figura acima, representa a realização do controlador PID na estrutura:

Obtenha a função de transferência equivalente, T(s) = Y(s)/R(s), para o sistema de controle em malha fechada conforme Figura 3 abaixo:
Figura 3

Considere um sistema em malha fechada de segunda ordem, cuja função de transferência é dada por:
H(s) = ω_n² / s² + 2ζω_ns + ω_n²
Onde ω_n e ζ são denominados de frequência natural e coeficiente de amortecimento, respectivamente. Acerca da natureza da resposta transitória desse sistema, analise as assertivas abaixo e assinale a alternativa correta.
I. O sistema apresenta uma resposta ao degrau unitário subamortecida se 0 < ζ < 1.
II. O sistema apresenta uma resposta ao degrau unitário oscilatória se ζ > 1.
III. Se o sistema possui polos com parte real negativa e iguais, a resposta ao degrau unitário será superamortecida.

Sobre a Transformada Z, analise as assertivas abaixo:
I. A Transformada Z é uma generalização da Transformada de Fourier de Tempo Discreto (DTFT).
II. A Transformada Z pode ser considerada como sendo a Transformada de Laplace com a mudança de variável z = e^sT.
III. A resposta ao impulso unitário de um sistema discreto é igual à sua função de transferência.
Quais estão corretas?

Um engenheiro identificou um modelo matemático de uma planta industrial caracterizado pela seguinte equação a diferenças:
y(K) = 0,3u(K − 1) + 0,3u(K − 2) + 0,9y(K − 1) − 0,2y(K − 2)
Assinale a alternativa que corresponde ao ganho estático (ou ganho DC) desse sistema.

Sobre resposta em frequência de sistemas lineares, analise as assertivas abaixo e assinale a alternativa correta.
I. Para um sistema estável linear invariante no tempo e sujeito a uma entrada senoidal em regime permanente, a saída será também senoidal e terá a mesma amplitude que a entrada, porém com frequências diferentes.
II. A resposta em frequência do sistema é definida a partir do ganho e da defasagem em função da frequência.
III. A Margem de Ganho (MG) é o quanto se pode reduzir o ganho de um sistema antes que a instabilidade ocorra se o ângulo de fase for constante em 180°.
IV. A Margem de Fase (MF) é o quanto se pode alterar o ângulo de fase antes que a instabilidade ocorra com ganho mantido unitário.

Um engenheiro recebeu a tarefa de identificar os parâmetros de um sistema de primeira ordem dado por:
G(s) =k / τs + 1
Para isso, ele tem à disposição o diagrama de Bode (Figura 2) abaixo:
Figura 2
Os valores de τ e K são:

Assumindo um degrau unitário como sinal de entrada, utilize o teorema do valor final para determinar o valor que a saída do sistema caracterizado pela função de transferência abaixo converge.
H(s) = s² + 4s + 4 / s³ + 8s² + 9s + 8

A resposta de um sistema linear invariante no tempo e causal a um degrau unitário como sinal de entrada é y(t) = 2 − 4te^−2t − 2e^−2t com t > 0. Com base nessa informação, assinale a alternativa que corresponde à função de transferência do sistema H(s) = Y(s)/U(s) .

A partir do teorema da derivação da Transformada de Laplace, assinale a alternativa com a solução da seguinte equação diferencial ordinária linear:
dy(t)/dt + 4y(t) = 3e ^−t , y(0) = 1