Uma população de variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas segue a distribuição de Bernoulli \( X_1 \sim \) Ber\( (θ) \), sendo \( P(X_i=1)=θ \) e \( P(X_i=0)=1-θ \). Uma amostra de tamanho n será retirada dessa população. A distribuição amostral da estatística suficiente, S, para \( θ \) é a binomial \( (n, θ) \), e S é a soma de X na amostra. O estimador de máxima verossimilhança para \( θ \) é \( θ_{MV}={\large{S \over n}} \). A esse respeito, três analistas, A, B e C, resolveram usar, respectivamente:

• \( θ=0,5 \) na distribuição amostral, a fim construir um intervalo de confiança bilateral para \( θ \) ao nível de confiança 0,95;
• \( θ={\large{S \over n}} \) na distribuição amostral, a fim construir um intervalo de confiança bilateral para \( θ \) ao nível de confiança 0,95;
• uma distribuição, a priori, uniforme no intervalo [0, 1] , a fim de construir um intervalo de credibilidade de 95% após observar a amostra.

A partir dessas informações, e considerando que para \( θ=0,5 \):

\( P(S \le 1)=0,011 \); \( P(S \le 2)=0,055 \); \( P(S \le 7)=0,945 \), e \( P(S \le 8)=0,989 \); e para \( θ=0,7 \): \( P(S > 7)=0,83 \), e \( P(S > 8)=0,149 \), jugue o item a seguir.

O intervalo de credibilidade do analista C contém o verdadeiro valor do parâmetro populacional, com probabilidade 0,95.

Uma população de variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas segue a distribuição de Bernoulli \( X_1 \sim \) Ber\( (θ) \), sendo \( P(X_i=1)=θ \) e \( P(X_i=0)=1-θ \). Uma amostra de tamanho n será retirada dessa população. A distribuição amostral da estatística suficiente, S, para \( θ \) é a binomial \( (n, θ) \), e S é a soma de X na amostra. O estimador de máxima verossimilhança para \( θ \) é \( θ_{MV}={\large{S \over n}} \). A esse respeito, três analistas, A, B e C, resolveram usar, respectivamente:

• \( θ=0,5 \) na distribuição amostral, a fim construir um intervalo de confiança bilateral para \( θ \) ao nível de confiança 0,95;
• \( θ={\large{S \over n}} \) na distribuição amostral, a fim construir um intervalo de confiança bilateral para \( θ \) ao nível de confiança 0,95;
• uma distribuição, a priori, uniforme no intervalo [0, 1] , a fim de construir um intervalo de credibilidade de 95% após observar a amostra.

A partir dessas informações, e considerando que para \( θ=0,5 \):

\( P(S \le 1)=0,011 \); \( P(S \le 2)=0,055 \); \( P(S \le 7)=0,945 \), e \( P(S \le 8)=0,989 \); e para \( θ=0,7 \): \( P(S > 7)=0,83 \), e \( P(S > 8)=0,149 \), jugue o item a seguir.

Se o verdadeiro valor do parâmetro populacional \( θ \) é igual a 0,5, em m amostras aleatórias de tamanho n com m →∞, a fração de vezes em que o intervalo de confiança do analista B conterá 0,5 será maior ou igual a 0,95.

Uma população de variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas segue a distribuição de Bernoulli \( X_1 \sim \) Ber\( (θ) \), sendo \( P(X_i=1)=θ \) e \( P(X_i=0)=1-θ \). Uma amostra de tamanho n será retirada dessa população. A distribuição amostral da estatística suficiente, S, para \( θ \) é a binomial \( (n, θ) \), e S é a soma de X na amostra. O estimador de máxima verossimilhança para \( θ \) é \( θ_{MV}={\large{S \over n}} \). A esse respeito, três analistas, A, B e C, resolveram usar, respectivamente:

• \( θ=0,5 \) na distribuição amostral, a fim construir um intervalo de confiança bilateral para \( θ \) ao nível de confiança 0,95;
• \( θ={\large{S \over n}} \) na distribuição amostral, a fim construir um intervalo de confiança bilateral para \( θ \) ao nível de confiança 0,95;
• uma distribuição, a priori, uniforme no intervalo [0, 1] , a fim de construir um intervalo de credibilidade de 95% após observar a amostra.

A partir dessas informações, e considerando que para \( θ=0,5 \):

\( P(S \le 1)=0,011 \); \( P(S \le 2)=0,055 \); \( P(S \le 7)=0,945 \), e \( P(S \le 8)=0,989 \); e para \( θ=0,7 \): \( P(S > 7)=0,83 \), e \( P(S > 8)=0,149 \), jugue o item a seguir.

Em m amostras aleatórias de tamanho n com m →∞, a fração de vezes em que o intervalo de confiança do analista A conterá o verdadeiro valor do parâmetro populacional será maior ou igual a 0,95.

Uma população de variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas segue a distribuição de Bernoulli \( X_1 \sim \) Ber\( (θ) \), sendo \( P(X_i=1)=θ \) e \( P(X_i=0)=1-θ \). Uma amostra de tamanho n será retirada dessa população. A distribuição amostral da estatística suficiente, S, para \( θ \) é a binomial \( (n, θ) \), e S é a soma de X na amostra. O estimador de máxima verossimilhança para \( θ \) é \( θ_{MV}={\large{S \over n}} \). A esse respeito, três analistas, A, B e C, resolveram usar, respectivamente:

• \( θ=0,5 \) na distribuição amostral, a fim construir um intervalo de confiança bilateral para \( θ \) ao nível de confiança 0,95;
• \( θ={\large{S \over n}} \) na distribuição amostral, a fim construir um intervalo de confiança bilateral para \( θ \) ao nível de confiança 0,95;
• uma distribuição, a priori, uniforme no intervalo [0, 1] , a fim de construir um intervalo de credibilidade de 95% após observar a amostra.

A partir dessas informações, e considerando que para \( θ=0,5 \):

\( P(S \le 1)=0,011 \); \( P(S \le 2)=0,055 \); \( P(S \le 7)=0,945 \), e \( P(S \le 8)=0,989 \); e para \( θ=0,7 \): \( P(S > 7)=0,383 \), e \( P(S > 8)=0,149 \), jugue o item a seguir.

Sob a hipótese nula de \( θ = 0,5 \) contra a hipótese alternativa de \( θ = 0,7 \), se a região crítica for \( S>7 \), então o poder do teste será igual a 0,383.

Uma população de variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas segue a distribuição uniforme \( X_1 \sim \) Uniforme\( [0, θ] \) no intervalo \( [0, θ] \), em que \( f(x)={\large{1 \over θ}} \) para \( 0 \le x \le θ \) e \( f(x)=0 \), caso contrário. Uma amostra de tamanho
n será retirada dessa população, sendo \( X_{(i)} \) a i-ésima estatística de ordem da amostra.

Tendo como referência essas informações, julgue o item o seguir.

O estimador \( 2 \cdot X_1 \) é não viesado e não é consistente.

Uma população de variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas segue a distribuição uniforme \( X_1 \sim \) Uniforme\( [0, θ] \) no intervalo \( [0, θ] \), em que \( f(x)={\large{1 \over θ}} \) para \( 0 \le x \le θ \) e \( f(x)=0 \), caso contrário. Uma amostra de tamanho
n será retirada dessa população, sendo \( X_{(i)} \) a i-ésima estatística de ordem da amostra.

Tendo como referência essas informações, julgue o item o seguir.

\( X_{(n)} *\left(1+ {\large{1 \over n}}\right) \) é o estimador não viesado de variância mínima para \( θ \).

Uma população de variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas segue a distribuição uniforme \( X_1 \sim \) Uniforme\( [0, θ] \) no intervalo \( [0, θ] \), em que \( f(x)={\large{1 \over θ}} \) para \( 0 \le x \le θ \) e \( f(x)=0 \), caso contrário. Uma amostra de tamanho
n será retirada dessa população, sendo \( X_{(i)} \) a i-ésima estatística de ordem da amostra.

Tendo como referência essas informações, julgue o item o seguir.

O estimador do método de momentos para \( θ \) é duas vezes a média amostral. Esse estimador é não viesado e não é consistente.

Uma população de variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas segue a distribuição uniforme \( X_1 \sim \) Uniforme\( [0, θ] \) no intervalo \( [0, θ] \), em que \( f(x)={\large{1 \over θ}} \) para \( 0 \le x \le θ \) e \( f(x)=0 \), caso contrário. Uma amostra de tamanho
n será retirada dessa população, sendo \( X_{(i)} \) a i-ésima estatística de ordem da amostra.

Tendo como referência essas informações, julgue o item o seguir.

\( X_{(n)} \) é o estimador de máxima verossimilhança para \( θ \). Esse estimador é viesado e não é consistente.

Uma população de variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas segue a distribuição uniforme \( X_1 \sim \) Uniforme\( [0, θ] \) no intervalo \( [0, θ] \), em que \( f(x)={\large{1 \over θ}} \) para \( 0 \le x \le θ \) e \( f(x)=0 \), caso contrário. Uma amostra de tamanho
n será retirada dessa população, sendo \( X_{(i)} \) a i-ésima estatística de ordem da amostra.

Tendo como referência essas informações, julgue o item o seguir.

\( T(X_1, \cdots, X_n)=X_{(n)} \) não é uma estatística suficiente para \( θ \).