Uma indústria mineradora produz minério de ferro e tem um contrato com uma siderúrgica, especificando que o teor médio de ferro nos lotes de minério entregue a ela deve ser de, no mínimo, 60%. Caso contrário, os lotes são devolvidos e a mineradora deve pagar uma multa. Para certificar-se de que está enviando minério de ferro dentro do que foi especificado no contrato, a mineradora toma amostras de minério de cada lote a ser embarcado. Em seguida, determina o teor médio de ferro do minério de cada lote. A mineradora gostaria que a probabilidade de concluir o lote a ser enviado cumprisse as especificações estabelecidas pela siderúrgica quando, na verdade, não as cumpre, seja, no máximo, 0,025. Considere as quatro hipóteses a seguir:

Hipótese 1: o teor médio de minério de ferro do lote é maior do que 60%.
Hipótese 2: o teor médio de minério de ferro do lote é maior ou igual a 60%.
Hipótese 3: o teor médio de minério de ferro do lote é menor do que 60%.
Hipótese 4: o teor médio de minério de ferro do lote é menor ou igual a 60%.

Considerando as informações apresentadas, as hipóteses nulas e a alternativa do teste a ser realizada antes do embarque do lote são, respectivamente, as hipóteses

A equipe de controle de qualidade de uma indústria metalúrgica suspeita que a produção de peças defeituosas esteja relacionada ao sistema de trabalho dos funcionários: com ou sem troca de turno (trabalho noturno ou diurno). Para um grupo de 180 funcionários com experiência similar na função, mas com sistemas de trabalho diferentes, cada funcionário teve registrado o percentual de peças defeituosas produzidas durante uma semana, sendo classificado como “aceitável”, se esse percentual fosse menor ou igual a 5%, e como “não aceitável”, caso contrário. Entre os 60 funcionários que não trocam turno e trabalham durante o dia, o número de funcionários classificados como “aceitável” foi 47. Entre os 60 funcionários que não trocam turno e trabalham durante a noite, o número de funcionários classificados como “aceitável” foi 40 e, para o grupo de 60 funcionários que trocam turnos, esse número foi 33. A estatística do teste apropriado foi calculada e o seu valor é 7.35. O quadro abaixo apresenta os valores dos percentis de ordem 95 e 97.5 para as distribuições de probabilidade gaussiana, t-Student e Qui-quadrado.



Considerando a descrição do problema e dos dados apre- sentados, analise.

I. A hipótese nula do teste é a de que as proporções de funcionários classificados como “aceitáveis” são homo- gêneas nos três grupos.
II. Se a hipótese nula for verdadeira, o número esperado de funcionários classificados como “aceitáveis” seria 40 em cada um dos três grupos.
III. A hipótese nula do teste pode ser rejeitada no nível de significância de 5%.

Está(ão) correta(s) a(s) afirmativa(s)

Uma variável aleatória Gama é definida para valores reais e positivos e sua função densidade é dada por

com parâmetros α > 0 e ß > 0.

Diante do exposto, analise as afirmativas.
I. Pode-se demonstrar que E(x) = αß e Var(x) = αß².

II. A função gama é dada por

III. Pode-se mostrar que G(α) = (α – 1) G(α – 1) e para α inteiro, G(α) = (α – 1)!.

IV. Quando α = 1, a função densidade da gama e igual à distribuição exponencial com parâmetro ß.

V. Quando α = v/2 e ß = 2, com v > 0 inteiro, a função densidade da gama é igual à distribuição Qui-quadrado com ? graus de liberdade.

Estão corretas apenas as afirmativas

O modelo de regressão logística é um caso particular de um modelo linear generalizado em que o componente aleatório tem distribuição Bernoulli e a função de ligação é a logito. Diante do exposto, marque V para as afirmativas verdadeiras e F para as falsas.

( ) Para uma variável explicativa numérica, o modelo logístico tem uma forma linear para o logito da probabilidade: , ou seja, p(x) aumenta ou diminui como uma função linear de x.
( ) A chance ou odds é a razão entre as probabilidades de sucesso e fracasso e pode ser expressa como e^α (e^ß ) ^x . Quando a variável explicativa aumenta em uma unidade, a chance é aumentada multiplicativamente por ß.
( ) Para a avaliação do modelo de regressão com variáveis explicativas numéricas pode-se utilizar a estatística X² de Pearson ou a estatística G² do teste da razão de verossimilhança dadas, respectivamente, por:



( ) Para a análise de resíduos de um modelo de regressão logística com variáveis explicativas numéricas pode-se utilizar o resíduo de Pearson ou o resíduo ajustado de Pearson, dados, respectivamente, por:



( ) O modelo de regressão logística multicategorizada é uma generalização do modelo de regressão logística, onde a variável resposta assume mais de duas categorias. Quando as categorias são nominais, escolhe-se uma como sendo a base para se construir as chances e fazer as análises necessárias. No caso de categorias ordinais, a ordenação pode ser incorporada ao modelo na forma de probabilidades acumuladas, obtendo-se, então, o modelo logito acumulativo.

A sequência está correta em

O modelo de análise fatorial representa a estrutura de cova- riância entre muitas variáveis aleatórias , através de poucas variáveis não observáveis F´ = [ ] também conhecidas como fatores, construtos ou fatores comuns. Sendo E(X) = µ e V(X) = S, o modelo fatorial é expresso por X – µ = LF + e. A matriz é conhecida como matriz das cargas fatoriais e seus elementos, , carga da variável i no fator j e as variáveis aleatórias F e em + p são não observáveis. Analise as afirmativas, marque V para as verdadeiras e F para as falsas.

( ) No modelo fatorial ortogonal, as variáveis não observáveis F e e são independentes, E(F) = 0, V(F) = E(F´F) = I, E(e) = 0, V(e) = E(e´e) = ?. A matriz ? é não diagonal, V(X) = S = L´L + ? e Cov (X, F) = L.
( ) Um método de estimação para as cargas do modelo fatorial ortogonal é através de componentes principais, onde se utiliza a decomposição espectral da matriz S.
( ) Para se utilizar o método de máxima verossimilhança para estimar as cargas, é acrescida a suposição de que F e e têm distribuição normal multivariada. As comunalidades (elementos da diagonal LL´) têm como estimadores a proporção da variância total estimada pelo particular fator.
( ) Para melhorar a explicação do modelo fatorial, sem alterar a ortogonalidade dos fatores, muitas vezes, usa- se uma transformação ortogonal das cargas fatoriais, que, consequentemente, transforma os fatores. Esse procedimento é conhecido como rotação fatorial.
( ) Dependendo da natureza dos dados, os fatores não precisam ser ortogonais. Assim, para melhorar a explicação do modelo fatorial, pode-se utilizar a rotação oblíqua, onde cada variável é expressa em termos de um número máximo de fatores.
A sequência está correta em

O modelo de componentes principais é utilizado para representar a estrutura de variância-covariância em função de um número reduzido de combinações lineares das variáveis originais, com o objetivo de se ter uma redução de dados e uma melhor interpretação destes. Para o vetor aleatório com matriz de covariância S e autovalores iguais a , e as combinações lineares:



O modelo de componentes principais corresponde às combinações lineares não correlacionadas com vetores de coeficientes de comprimento unitário, que apresentam as maiores variâncias Var . Diante do exposto, é correto afirmar que


I. o primeiro componente principal é a combinação linear que maximiza Var sujeito a = 1.

II. o i-ésimo componente principal é a combinação linear que maximiza Var = 1 e Cov (, ) = 0, para k < i.

III. sendo os autovalores e ei os autovetores de S, o i-ésimo componente principal é dado por + , onde i = 1, ··· p.

IV. Var = 0, para i = 1,2, ···, p e i ≠ k.

V. a proporção da variância total devido ao k-ésimo componente principal é dada por para k = 1, ···, p.

Estão corretas apenas as afirmativas

Em uma população finita de tamanho N, onde existem k indivíduos com uma característica de interesse, ao se selecionar uma amostra aleatória de tamanho n sem reposição, o número de indivíduos com a característica na amostra (R) é uma variável aleatória com distribuição hipergeométrica. A probabilidade de se ter exatamente r indivíduos na amostra com a característica de interesse é dada por

\(p_r = \dfrac{\binom{k}{r}\binom{N -k}{n-r}}{\binom{N}{n}}\), onde max (0, n – N + k) = r = min (k, n).

Analise.

1. Para N = 100, k = 20, n = 10 e r = 3, E(R) = 2 e Var(R) = 144/99.
2. Para N = 100, k = 20, n = 5 e r = 3, E(R) = 1 e Var(R) = 8/10.
3. Para N = 10000, k = 2000, n = 100 e r = 3, E(R) = 20 e Var(R) = 15,84.
4. Para N = 10000, k = 1000, n = 100 e r = 3, E(R) = 10 e Var(R) ≈ 9.
5. Para N = 10000, k = 2000, n = 10 e r = 0, P(R = 0) ≈ 0,1074.

Estão corretas apenas as alternativas

Uma série temporal corresponde a um conjunto de observações que são, naturalmente, ordenadas pelo tempo, espaço, profundidade etc., que apresentam dependência em observações vizinhas. As observações correspondem a um processo , e

I. que pode ser discreto, se T = ; contínuo, se T = , ou multivariado, se .

II. pode ser uma variável discreta ou contínua.

III. os dois principais objetivos da análise de uma série temporal, a saber: compreender o mecanismo gerador e predizer o comportamento gerador e o comportamento futuro.

IV. a tendência é um efeito de longo prazo na média. Sazonalidade é um efeito ligado às variações periódicas. Ciclos são variações periódicas não associadas automaticamente a nenhuma medida temporal.

V. apresenta a família de modelos paramétricos de séries temporais, escrita de tal modo que cada observação corresponde a um sinal mais um ruído não correlacionado.

Estão corretas apenas as afirmativas