Um cilindro longo de raio !$ a !$ é atravessado por uma densidade de corrente dada por !$ \vec{J} = Jr\hat{k} !$, onde !$ r !$ é a distância medida a partir do eixo do cilindro. Assinale a opção que apresenta a expressão correta para o módulo da indução magnética no interior do cilindro.

O Eletromagnetismo foi uma das teorias desenvolvidas no século XIX. Faraday, Maxwell, Oersted e muitos outros se encontram entre os pioneiros desta área. A eletrostática e a magnetostática se constituíram em etapas iniciais e foram, posteriormente, unificadas pelas conhecidas Equações de Maxwell.

Considere um cilindro metálico de raio a descarregado e infinito, com seu eixo de simetria ao longo do eixo !$ z !$, na presença de um campo elétrico uniforme de módulo !$ E_0 !$ apontando na direção !$ x !$. Assumindo coordenadas cilíndricas, em que !$ \vec{r} = (r, \theta, z) !$, onde !$ \theta !$ é o ângulo entre !$ \vec{r} !$ e o eixo !$ x !$, julgue os itens a seguir.

I Uma das condições de contorno é dada pelo potencial no infinito, representado por !$ \varphi (r \rightarrow \infty) = -E_0 r \text{ cos } \theta !$. Esta condição de contorno implica na eliminação de todas as potências positivas de !$ r !$ da solução, excetuando-se a potência n=1.

II Uma outra condição de contorno é a imposição de que !$ \dfrac {\partial \varphi} {\partial \theta} !$ sobre a superfície do cilindro deve se anular.

III A solução completa para a equação de Laplace, em coordenadas cilíndricas, é dada por uma expansão da forma !$ \varphi (r, \theta) = A_0 + B_0r^{-1} + \sum^\infty_{n=1} \bigl [ A^1_{ \ n} r^n \text{ cos } (n \theta) + B^1_{\ n} r^{-n} \text{ cos } (n \theta)\bigr ] + \sum^\infty_{n = 1} \bigl [ A^2_{\ n} r^n \text{ sin } (n \theta) + B^2_{\ n} r^{-n} \text{ sin } (n \theta)\bigr ] !$. Além disso, todos os termos em seno podem ser imediatamente excluídos graças à simetria do problema e o termo B₀=0 porque o cilindro está descarregado.

IV Na solução do problema, todos os termos de potências negativas de !$ r !$, à exceção do termo !$ r^{-1} !$, devem ser excluídos com base na independência linear das funções !$ \text{cos} (n \theta) !$.

V A única solução para este problema é dada,em coordenadas cilíndricas, por !$ \varphi (r, \theta) = - E_0 \sum^\infty_{n = 1} \Biggl [ r + \dfrac {a^2} r \Biggr ]^n \text{cos} (n \theta) !$.

A quantidade de itens certos é

O Eletromagnetismo foi uma das teorias desenvolvidas no século XIX. Faraday, Maxwell, Oersted e muitos outros se encontram entre os pioneiros desta área. A eletrostática e a magnetostática se constituíram em etapas iniciais e foram, posteriormente, unificadas pelas conhecidas Equações de Maxwell.

Considere que três cargas !$ q_1 = -q !$, !$ q_2 = -q !$ e !$ q_3 = +2q !$, estejam posicionadas em !$ z = -a !$, !$ z = +a !$ e !$ z = 0 !$. Em uma expansão multipolar na eletrostática, a contribuição de quadrupolo pode ser escrita pelo tensor !$ Q_d = \int \rho (\vec{r}) (3\vec{r}\vec{r} - r^21) dV !$, em que !$ \rho (\vec{r}) !$ é a densidade de cargas e !$ \vec{r} !$ é o vetor posição. Considerando-se esta expressão e também aquelas para as contribuições dipolares !$ P !$ e monopolares !$ M !$, assinale a opção correta acerca dessas contribuições para a distribuição de cargas apresentada.

O uso da formulação Hamiltoniana possibilita um olhar mais profundo com relação à estrutura formal da mecânica clássica e tem grandes conseqüências para a mecânica quântica. Um dos elementos formais mais importantes do formalismo Hamiltoniano é o parêntese de Poisson. Considere-se que a transformação

!$ Q_1 = q_1; \ Q_2 = p_2; \ P_1 = p_1 - 2p_2; \ P_2 = -2q_1 - q_2 !$

seja canônica e que se tem duas funções dadas por

!$ H (q_1, p_1) = p_1^{\ 2} + p_2^{\ 2} - 2q_2 !$ e !$ G(q_1, p_1) = p_1^{\ 2} !$.

Em relação aos parênteses de Poisson !$ [H,Q]_{p_1, q_1} !$ e !$ [H,Q]_{P_1, Q_1} !$, tomados em relação às variáveis !$ q_1 !$, !$ p_1 !$ e !$ Q_1 !$, !$ P_1 !$, respectivamente, assinale a opção correta.

A mecânica clássica pode ser expressa sob as formas Lagrangiana e Hamiltoniana. Na interação do campo eletromagnético com a matéria, o Hamiltoniano deve ser escrito como !$ H = \dfrac 1 {2m} \biggl ( \vec{p} - \dfrac q c \vec{A} \biggr )^2 + q\phi !$, onde !$ \vec{A}, \phi !$ são os potenciais vetor e !$ \vec{p}, m !$ são o momento linear e a massa. Acerca dessa interação, assinale a opção que contém as equações de movimento corretas.

A figura acima ilustra um disco rígido homogêneo de massa !$ M !$, raio !$ R !$ e espessura !$ H !$ com um furo de raio a em seu centro. Considerando-se que o tensor momento de inércia de um corpo rígido pode ser escrito como !$ I = \int \rho (\vec{r}) (r^2 1 - \vec{r}\vec{r}) dV !$, onde 1 é o tensor identidade, !$ \vec{r} \vec{r} !$ é um produto diádico dos vetores posição e !$ \rho (\vec{r}) !$ é a densidade local de massa, assinale a opção que contém o momento de inércia !$ I_{dis} !$ correto para esse corpo.

Com relação ao spin, é comum se afirmar que o mesmo não tem equivalente clássico, sendo uma propriedade eminentemente quântica. Para ter um equivalente clássico, é preciso que uma grandeza possa ser escrita no espaço de fase e que, uma vez aplicadas as regras de quantização, essa grandeza clássica adquira as propriedades quânticas. Com relação a essas afirmações, considere, para as duas questões a seguir, as representações funcionais dos geradores do grupo SU(3), dadas por

!$ L_x = yp_z - zp_y \quad L_y = zp_x - xp_z \quad L_z = xp_y - yp_x !$,

!$ Q_{xy} = axy + \beta p_x p_y \quad Q_{yz} = ayz + \beta p_y p_z \quad Q_{zx} = azx + \beta p_x p_z !$

!$ Q_{xy} = axy + \beta p_x p_y \quad Q_{yz} = ayz + \beta p_y p_z \quad Q_{zz} = azx + \beta p_x p_z !$,

!$ Q_0 = \dfrac \alpha {2 \sqrt{3}} (x^2 + y^2 - 2z^2) + \dfrac \beta {2\sqrt{3}} (p_x^{\ 2} + p_y^{\ 2} - 2p_z^{\ 2}) !$,

!$ Q_1 - \dfrac \alpha 2 (x^2 - y^2) + \dfrac \beta 2 (p_x^{\ 2} - p_y^{\ 2}) !$.

Considere também as funções

!$ S_1 = \dfrac 1 2 Q_1, \ S_2 = \dfrac 1 2 Q_{xy}, \ S_3 = \dfrac 1 2 Q_z !$ e assuma que !$ \alpha = \beta = 1 !$.

A passagem das funções !$ S_1 !$, !$ S_2 !$, !$ S_3 !$ para os operadores !$ \hat{S}_1 !$, !$ \hat{S}_2 !$, !$ \hat{S}_3 !$ na representação quântica implica em várias conseqüências. Com relação a tal passagem e ao formalismo quântico para os spins, julgue os itens a seguir.

I Se é aplicada a prescrição !$ x_i \rightarrow \hat{x}_i, \ p_i \rightarrow - i \hbar \partial / \partial x_i !$, para fazer a passagem de funções para operadores, então os operadores resultantes para uma tal transformação sobre as funções !$ \hbar \sigma_1 !$, !$ \hbar \sigma_2 !$, !$ \hbar \sigma_3 !$ obedecem às regras de comutação !$ [ \hat{\sigma}_i, \hat{\sigma}_j] = 2i \hbar \varepsilon_{ijk} \hat{\sigma}_k !$, onde [ , ] representa o colchetes de Dirac.

II Definindo a anticomutação clássica como sendo!$ \{ f, g \}_a = \sum_i \partial_{x_i} f \partial_{p_i} g + \partial_{x_i} g \partial_{p_i}f !$, então as funções !$ \hbar \sigma_i !$ satisfazem a relação !$ \{ \hbar \sigma_i, \hbar \sigma_j \}_a = 2 \hbar f \delta_{ij} !$, em que !$ f = \hbar (x_1p_1 + x_2p_2) !$ e !$ \delta_{ij} !$ é o delta de Kroenecker.

III A função !$ f = \hbar (x_1 p_1 + x_2 p_2) !$ satisfaz a relação !$ \{ \hbar \sigma_i, f \}_a = 2 \hbar \sigma_i !$, de modo que !$ f !$ funciona como uma identidade relativamente à operação de anticomutação.

Assinale a opção correta.

Com relação ao spin, é comum se afirmar que o mesmo não tem equivalente clássico, sendo uma propriedade eminentemente quântica. Para ter um equivalente clássico, é preciso que uma grandeza possa ser escrita no espaço de fase e que, uma vez aplicadas as regras de quantização, essa grandeza clássica adquira as propriedades quânticas. Com relação a essas afirmações, considere, para as duas questões a seguir, as representações funcionais dos geradores do grupo SU(3), dadas por

!$ L_x = yp_z - zp_y \quad L_y = zp_x - xp_z \quad L_z = xp_y - yp_x !$,

!$ Q_{xy} = axy + \beta p_x p_y \quad Q_{yz} = ayz + \beta p_y p_z \quad Q_{zx} = azx + \beta p_x p_z !$

!$ Q_{xy} = axy + \beta p_x p_y \quad Q_{yz} = ayz + \beta p_y p_z \quad Q_{zz} = azx + \beta p_x p_z !$,

!$ Q_0 = \dfrac \alpha {2 \sqrt{3}} (x^2 + y^2 - 2z^2) + \dfrac \beta {2\sqrt{3}} (p_x^{\ 2} + p_y^{\ 2} - 2p_z^{\ 2}) !$,

!$ Q_1 - \dfrac \alpha 2 (x^2 - y^2) + \dfrac \beta 2 (p_x^{\ 2} - p_y^{\ 2}) !$.

Considere também as funções

!$ S_1 = \dfrac 1 2 Q_1, \ S_2 = \dfrac 1 2 Q_{xy}, \ S_3 = \dfrac 1 2 Q_z !$ e assuma que !$ \alpha = \beta = 1 !$.

Com respeito à descrição clássica das funções !$ S_1 !$, !$ S_2 !$, !$ S_3 !$, assinale a opção incorreta.

As formulações Lagrangiana e Hamiltoniana da mecânica clássica possuem, além de grande interesse teórico, amplo campo de aplicação na solução de problemas. Considere uma situação em que temos um corpo de massa !$ M !$, pendurado por uma corda sem peso de comprimento !$ L !$, presa a um carro capaz de se mover sobre um plano, como mostrado na figura acima. O carro move-se segundo a equação !$ x_c (t) = x_0 \text{ cos } \omega t !$. Considere os eixos !$ x !$ e !$ y !$ como apresentados na figura e assuma o eixo !$ x !$ como sendo o eixo de referência para a energia potencial.

Com relação ao problema descrito acima, assinale a opção que representa corretamente as equações de movimento do problema na formulação hamiltoniana.

As formulações Lagrangiana e Hamiltoniana da mecânica clássica possuem, além de grande interesse teórico, amplo campo de aplicação na solução de problemas. Considere uma situação em que temos um corpo de massa !$ M !$, pendurado por uma corda sem peso de comprimento !$ L !$, presa a um carro capaz de se mover sobre um plano, como mostrado na figura acima. O carro move-se segundo a equação !$ x_c (t) = x_0 \text{ cos } \omega t !$. Considere os eixos !$ x !$ e !$ y !$ como apresentados na figura e assuma o eixo !$ x !$ como sendo o eixo de referência para a energia potencial.

Em relação ao problema descrito acima, a expressão que relaciona o momentum !$ p_\theta !$ com a velocidade !$ \dot{\theta} !$ é dada por