O operador paridade !$ \pi !$ é definido por !$ \pi | r \rangle = | - r \rangle !$. Acerca desse operador, assinale a opção incorreta.

Problemas dependentes do tempo em mecânica quântica são, normalmente, difíceis de serem resolvidos de forma analítica fechada. Assim, em geral, procura-se por soluções aproximadas e métodos para analisar as características mais relevantes do sistema físico. Um desses métodos é a teoria de perturbações dependentes do tempo. Para um hamiltoniano !$ H(t) = H_0 + \lambda W(t) !$, em que !$ H_o !$ é o hamiltoniano não perturbado, !$ \lambda !$ é um parâmetro e !$ W(t) !$ é a perturbação, a probabilidade de transição entre um estado inicial !$ i !$ e um final !$ f !$ do sistema físico é dada pela expressão

!$ P_{if} (t) = \dfrac {\lambda^2} {\hbar^2} \Biggl | \int\limits_{0}^{t} e^{i \omega_\beta t} W_{fi} (t^\prime) dt^\prime \Biggr |^2 !$,

onde !$ \omega_{fi} = \dfrac {E_f - E_i} \hbar \text{ e } W_{fi} (t) = \langle \phi_f | W(t) | \phi_i \rangle !$, sendo !$ I \phi_i \rangle !$, !$ I \phi_f \rangle !$ os estados inicial e final, respectivamente. Considere o caso de um oscilador harmônico unidimensional com freqüência angular !$ \omega_0 !$ e carga elétrica !$ q !$ que está em seu estado fundamental no instante !$ t=0 !$ e é submetido a um campo elétrico de magnitude !$ W(t) = - \lambda x !$ durante um intervalo de tempo !$ \tau !$ (a partir de !$ t=0 !$). Assinale a opção que apresenta a expressão correta para a probabilidade de transição entre o estado fundamental e o primeiro estado excitado do oscilador.

Considere o hamiltoniano em forma matricial dado pela expressão !$ H = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} !$. Assinale a opção que apresenta os autovalores corretos desse hamiltoniano.

O método aproximativo WKB (Wentzel, Kramers e Brillouin) se baseia em uma expansão em potências de !$ \hbar !$ nas quais termos de ordem maior ou igual a 2 são desprezados. Com isto se substitui a equação de Schrödinger pelo seu limite clássico com !$ \hbar \rightarrow 0 !$. Para um hamiltoniano dado por !$ - \dfrac {d^2} {dx^2} + x^2 + x^4 !$, a aproximação WKB fornece uma amplitude !$ \psi (x) !$ para o estado fundamental nas situações em que !$ x \rightarrow \infty !$. Em relação a esse problema, assinale a opção em que !$ \psi (x) !$ está escrita corretamente nessa aproximação.

Considere uma partícula de massa !$ m !$ em um poço potencial esférico e infinito, dado pela expressão !$ \begin{cases} 0 & 0 \le r \le a \\ \infty & a < r \end{cases} !$. Assinale a opção que contém a expressão correta para a solução não normalizada geral da equação de Schrödinger para o problema e para a energia do estado !$ \ell !$ = 0, em que !$ \ell !$ é o autovalor do momento angular total.

A interação dos campos eletromagnéticos com a matéria carregada é um tema da maior importância para a física, uma vez que a força eletromagnética é prevalente nos sistemas atômicos, moleculares e de estado sólido. A passagem da descrição clássica para a descrição quântica assume, portanto, grande relevância, pois é no domínio quântico que tais sistemas atômicos, moleculares e de estado sólido encontram uma descrição adequada. Assuma que !$ \vec{E} !$ é o campo elétrico, !$ \vec{B} !$ é o campo magnético, !$ \vec{A} !$ e !$ \phi !$ são os potenciais vetor e escalar, !$ m !$ a massa e !$ c !$ é a velocidade da luz.

O comportamento de partículas carregadas na presença de campos magnéticos constantes dá origem ao efeito Zeeman. Considerando a existência de um campo magnético constante !$ \vec{B} = B_0 \hat{k} !$ na direção do eixo !$ z !$ e usando o calibre dado por !$ \vec{A} = - \dfrac 1 2 \vec{r} \times \vec{B} !$, assinale a opção que apresenta a expressão correta para a equação de Schrödinger que descreve esse efeito.

A interação dos campos eletromagnéticos com a matéria carregada é um tema da maior importância para a física, uma vez que a força eletromagnética é prevalente nos sistemas atômicos, moleculares e de estado sólido. A passagem da descrição clássica para a descrição quântica assume, portanto, grande relevância, pois é no domínio quântico que tais sistemas atômicos, moleculares e de estado sólido encontram uma descrição adequada. Assuma que !$ \vec{E} !$ é o campo elétrico, !$ \vec{B} !$ é o campo magnético, !$ \vec{A} !$ e !$ \phi !$ são os potenciais vetor e escalar, !$ m !$ a massa e !$ c !$ é a velocidade da luz.

A mudança de calibre para os potenciais eletromagnéticos pode implicar no aparecimento de uma fase local na função de onda. Se o operador hamiltoniano de um sistema físico envolvendo o campo eletromagnético é dado por

!$ \hat{H} = \dfrac 1 {2m} \biggl ( -i \hbar \bigtriangledown - \dfrac q c \vec{A} (\hat{r}, t) \biggr )^2 + q \phi (\hat{r}, t) !$

e se for feita uma mudança de calibre dada por !$ \vec{A} \rightarrow \vec{A}_1 = \vec{A} + \bigtriangledown f (\vec{r}, t) !$ e !$ \phi \rightarrow \phi_1 = \phi - \dfrac 1 c \dfrac {\partial f (\vec{r}, t)} {\partial t} !$, então, a forma segundo a qual !$ \psi (\vec{r}, t) !$ se transforma é

Ainda a respeito do momento angular, considere as seguintes relações:

!$ L_+ = L_x + iL_y \ ; \ L_- = L_x - iL_y !$,

!$ L_\pm | lm \big\rangle = \hbar \sqrt{l(l + 1) - m(m \pm 1)} | l, m \pm 1 \big\rangle !$,

!$ L_z = m \hbar | lm \big\rangle !$ e !$ L^2 | lm \big\rangle = l(l + 1) \hbar^2 | lm \big\rangle !$.

Considerando que o sistema esteja em um estado dado por !$ l = l !$ e usando a base !$ |1 \big\rangle = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}, |0 \big\rangle = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, | -1 \big\rangle = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} !$, assinale a opção em que o operador !$ L_x !$ se encontra escrito corretamente na forma matricial.

A noção de momento angular em mecânica quântica possui diversas peculiaridades que derivam do fato de, em termos clássicos, o momento angular ser descrito por um produto vetorial. Considere que um corpo com momento de inércia !$ I_x = I_y !$ e !$ I_z !$ seja descrito pelo Hamiltoniano !$ H = \dfrac 1 {2I_x} (L_x^{\ 2} + L_y^{\ 2}) + \dfrac 1 {2I_z} L_z^{\ 2} !$ e que !$ \ell !$ é o número quântico associado ao momento angular total e !$ m !$ é o número quântico associado ao momento angular na direção !$ z !$. Assinale a opção que contém a expressão correta para os autovalores de energia !$ E_{\ell m} !$.

Problemas concretos em mecânica quântica estão sempre associados à solução de uma equação de Schrödinger que os representa matematicamente. A solução desta equação, entretanto, nem sempre pode ser obtida de maneira analítica fechada. Assim, é necessário desenvolver métodos aproximativos quando a solução analítica não está disponível. Considere dois métodos aproximativos para tratar a equação de Schrödinger para um oscilador anarmônico simples descrito por um potencial !$ V = \dfrac 1 2 x^2 + \lambda x^4 !$, em que !$ \lambda !$ é um parâmetro. Considere !$ \hbar = m = 1 !$, em que !$ m !$ é a massa do oscilador.

Ainda em relação ao problema do oscilador anarmônico, considere que o parâmetro !$ \lambda !$ é suficientemente pequeno para justificar uma solução aproximada pelo método das perturbações independentes do tempo. Assinale a opção que fornece a expressão correta para a energia do problema em primeira aproximação.