O teleférico que liga os morros da Urca e do Pão de Açúcar no Rio de Janeiro é um famoso cartão postal da cidade. Inspirados nestes morros, os organizadores de um Congresso de Matemática propuseram a construção apresentada abaixo para, a partir dela, elaborar um logotipo para o evento.

Nesta construção, D é o ponto médio do segmento \( \overline{AB} \) e os segmentos \( \overline{AC} \) e \( \overline{AE} \) possuem o mesmo comprimento. Os ângulos B\( \widehat{A} \)C e C\( \widehat{A} \)E medem 30° cada um. Se S₁ e S₂ denotam, respectivamente, as áreas dos triângulos ABC e ADE, então a razão S1/S2 vale:

A empresa Tatuzão, especializada em perfuração de poços artesianos para captação de água, cobra pela perfuração de um poço um valor fixo de R$10.000,00 quando este possui até 50 metros de profundidade. Caso não encontre água até essa profundidade, é cobrado uma taxa extra por cada metro adicional perfurado, conforme o gráfico abaixo:

Sr. Antônio contratou a empresa Tatuzão que perfurou um poço em seu sítio, pagando o total de R$14.500,00 pelo serviço. Isso significa que o poço perfurado tem a profundidade total, em metros, de:

Durante um treino de uma equipe de futebol, o técnico planeja aplicar um exercício em uma região plana, delimitada por três cones. Os cones são posicionados nos pontos A, B e C, formando um triângulo retângulo, com o cone em C representando o vértice do ângulo reto.

O técnico, para aumentar o desafio do exercício, posiciona um obstáculo no ponto D da altura CD relativa ao lado \( \overline{AB} \), estabelecendo uma distância de A até D igual a x metros.

Se a altura \( \overline{CD} \) excede \( \overline{AD} \) em 2 unidades, o valor de x para que \( \overline{BD} \) seja o triplo de \( \overline{AD} \) é:

A Igreja de uma cidade tem a tradição de, no início de determinadas horas do dia, tocar o seu sino o número de vezes correspondente àquela hora. Qualquer que seja a hora iniciada, o intervalo de tempo entre os toques sequenciais é o mesmo. A partir das seis horas da manhã o sino dessa igreja é tocado seis vezes, com o último desses toques ocorrendo 30 segundos depois do primeiro toque. Ao meio-dia este sino será tocado doze vezes. Entre o primeiro toque e o décimo segundo toque deste sino terá se passado, em segundos:

No triângulo ABC abaixo, retângulo em B, E é ponto médio de \( \overline{AB} \) e os segmentos \( \overline{BC} \) e \( \overline{EG} \) são paralelos. Além disso, o ponto F é determinado pela interseção dos segmentos \( \overline{CE} \) e\( \overline{BG} \).

Sabendo que BE = 12 cm, BC = 18 cm e CE = \( \sqrt{\overline{468}} \) cm, o perímetro do triângulo EFG, em cm, é igual a:

Um astrônomo amador deseja calcular a altura de uma torre de observação localizada em um parque de ciências. Para isso, ele posiciona a base de seu telescópio em um ponto A do chão, que fica a uma distância de 270 metros da base da torre, representada pelo ponto P. Ele também posiciona verticalmente um bastão, de 3 metros de altura, em um ponto B, que está a 3 metros de A, colinear com A e P, conforme o esquema apresentado abaixo.

O visor do telescópio, representado pelo ponto C, é posicionado a 1 metro de altura em relação ao ponto A. A linha de visão do telescópio passa exatamente pelo topo do bastão (ponto D) e pelo topo da torre (ponto E), segundo o segmento CE. Considerando os dados acima, a altura da torre, desconsiderando possíveis erros de paralaxe e refração, é dada, em metros, por:

Dados dois números inteiros e positivos a e b, um novo número M é obtido a partir de uma sequência de operações, como apresentado abaixo:

M=(2a+4b)²+(4a-2b)²+(2a+4b)(2a-4b)+(2a²-4b²)

Assinale a única alternativa com um valor que pode ser assumido por M, a depender da escolha inicial dos números a e b:

Mariana é uma supersticiosa colecionadora que possui três números preferidos: 10, 28 e 54. Ela iniciará uma coleção de moedas e pretende seguir colecionando até que todas as suas moedas possam ser arrumadas, sem sobras, das três seguintes formas: todas em grupos com 10 moedas, todas em grupos com 28 moedas, ou todas em grupos com 54 moedas. A menor quantidade de moedas que permite Mariana alcançar seu objetivo está:

A professora Nair pede que Joãozinho vá ao quadro e calcule 72% de R$50,00. No quadro, Joãozinho confundiu os números e calculou 50% de R$72,00. Comparado ao resultado do cálculo original proposto pela professora, Joãozinho obteve um valor:

Seguindo o planejamento de seu nutricionista, Gabriel utilizará durante o mês de novembro um suplemento alimentar. De acordo com a embalagem deste produto, a ingestão de uma dose é equivalente ao consumo de 30 gramas do suplemento. A prescrição possui três etapas, abaixo descritas:

Etapa 1: com início no dia 1 de novembro, às 10 horas da manhã, utilizar metade de uma dose do suplemento a cada 12 horas, até o fim do dia 8 de novembro

Etapa 2: com início no dia 9 de novembro, às 10 horas da manhã, utilizar metade de uma dose do suplemento a cada 24 horas, até o fim do dia 16 de novembro.

Etapa 3: com início no dia 17 de novembro, às 10 horas da manhã, utilizar metade de uma dose do suplemento a cada 48 horas, até o fim do dia 30 de novembro.

Se Gabriel seguir corretamente a prescrição de seu nutricionista, ao fim das três etapas terá ingerido o equivalente, em doses do suplemento, a: