Sejam \( X_1 \), \( X_2 \), ..., \( X_n \) variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas com média \( \mu_x \) e variância \( σ^2_x < ∞ \). Além disso, as variáveis \( X_1 \), \( X_2 \), ..., \( X_n \) têm distribuição normal. Considere que plim representa o limite em probabilidade, e defina \( \overline{X}={\large{ \sum_{i=1}^n X_i \over n}} \). Pela Lei dos Grandes Números, é certo ou errado afirmar:

Item 3 - Sejam \( Y_1 \), \( Y_2 \), ..., \( Y_n \) variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas com média \( \mu_Y \) e variância \( σ^2_Y \), onde \( σ^2_Y < ∞ \). Então, plim \( (\overline{X}+\overline{Y})=\mu_X + \mu_Y \), onde \( \overline{Y}={\large{ \sum_{i=1}^n Y_i \over n}} \).

Sejam \( X_1 \), \( X_2 \), ..., \( X_n \) variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas com média \( \mu_x \) e variância \( σ^2_x < ∞ \). Além disso, as variáveis \( X_1 \), \( X_2 \), ..., \( X_n \) têm distribuição normal. Considere que plim representa o limite em probabilidade, e defina \( \overline{X}={\large{ \sum_{i=1}^n X_i \over n}} \). Pela Lei dos Grandes Números, é certo ou errado afirmar:

Item 2 - Sejam \( T_1 \), \( T_2 \), ..., \( T_n \) variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas com média \( \mu_r \) e variância \( σ^2_T \), onde \( \mu_r > 0 \) e \( σ^2_T < ∞ \). Se \( \mu_T > \mu_X \), então:

plim \( \left({\large{\overline{X} \over \overline{T}}}\right)=0 \), onde \( \overline{T}={\large{ \sum_{i=1}^n T_i \over n}} \).

Sejam \( X_1 \), \( X_2 \), ..., \( X_n \) variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas com média \( \mu_x \) e variância \( σ^2_x < ∞ \). Além disso, as variáveis \( X_1 \), \( X_2 \), ..., \( X_n \) têm distribuição normal. Considere que plim representa o limite em probabilidade, e defina \( \overline{X}={\large{ \sum_{i=1}^n X_i \over n}} \). Pela Lei dos Grandes Números, é certo ou errado afirmar:

Item 1 - Defina \( ω=h (\mu_x) \), onde \( h (\mu_x)=a+b \mu_x \), sendo \( a \) e \( b \) constantes positivas. Definindo \( H=a+b \overline{X} \) como estimador para \( ω \), temos plim \( (H)=a+b \mu_x \).

Sejam \( X_1 \), \( X_2 \), ..., \( X_n \) variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas com média \( \mu_x \) e variância \( σ^2_x < ∞ \). Além disso, as variáveis \( X_1 \), \( X_2 \), ..., \( X_n \) têm distribuição normal. Considere que plim representa o limite em probabilidade, e defina \( \overline{X}={\large{ \sum_{i=1}^n X_i \over n}} \). Pela Lei dos Grandes Números, é certo ou errado afirmar:

Item 0 - Mesmo se as variáveis aleatórias \( X_1 \), \( X_2 \), ..., \( X_n \) não fossem normalmente distribuídas, teríamos plim \( (\overline{X})=\mu_x \).

Sejam X e Y varáveis aleatórias com a seguinte função densidade de probabilidade conjunta:

\( f(x,y)= \begin{cases}2(x+y-2xy) & \text{para} \, 0 \le x \le 1, & 0 \le y \le 1, \\ \quad 0 & \quad \text{caso}\, \text {contrário} \end{cases} \)

Julgue a afirmativa a seguir como certo ou errado:

Item 4 - \( Var (X) = 2 \)

Sejam X e Y varáveis aleatórias com a seguinte função densidade de probabilidade conjunta:

\( f(x,y)= \begin{cases}2(x+y-2xy) & \text{para} \, 0 \le x \le 1, & 0 \le y \le 1, \\ \quad 0 & \quad \text{caso}\, \text {contrário} \end{cases} \)

Julgue a afirmativa a seguir como certo ou errado:

Item 3 - \( E(X)={\large{1 \over 2}} \)

Sejam X e Y varáveis aleatórias com a seguinte função densidade de probabilidade conjunta:

\( f(x,y)= \begin{cases}2(x+y-2xy) & \text{para} \, 0 \le x \le 1, & 0 \le y \le 1, \\ \quad 0 & \quad \text{caso}\, \text {contrário} \end{cases} \)

Julgue a afirmativa a seguir como certo ou errado:

Item 2 - Prob \( \left(0 \le Y \le {\large{3 \over 4}}\right)={\large{1 \over 2}} \)

Sejam X e Y varáveis aleatórias com a seguinte função densidade de probabilidade conjunta:

\( f(x,y)= \begin{cases}2(x+y-2xy) & \text{para} \, 0 \le x \le 1, & 0 \le y \le 1, \\ \quad 0 & \quad \text{caso}\, \text {contrário} \end{cases} \)

Julgue a afirmativa a seguir como certo ou errado:

Item 1 - Prob \( \left( {\large{1 \over 4}} \le X \le {\large{3 \over 4}} \right)={\large{1 \over 3}} \)

Sejam X e Y varáveis aleatórias com a seguinte função densidade de probabilidade conjunta:

\( f(x,y)= \begin{cases}2(x+y-2xy) & \text{para} \, 0 \le x \le 1, & 0 \le y \le 1, \\ \quad 0 & \quad \text{caso}\, \text {contrário} \end{cases} \)

Julgue a afirmativa a seguir como certo ou errado:

Item 0 - A variável aleatória X tem distribuição uniforme.

Julgue as afirmativas a seguir como certo ou errado:

Item 4 - Para amostras de tamanho 100, de uma variável aleatória X, o desvio padrão da média amostral é igual a um centésimo do desvio padrão de X.