Uma matriz em duas dimensões !$ A_{2 \times 2} !$ é uma matriz de rotação quando a multiplicação de um par ordenado !$ V(x, y) !$ na forma de matriz coluna !$ V = \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} !$ por !$ A !$ produz como resultado um vetor !$ V_1 = \begin{bmatrix} x_1 \\ y_1 \end{bmatrix} !$, que pode ser identificado com o par ordenado !$ V_1(x_1, y_1) !$ cuja distância à origem é a mesma que !$ V !$. Nesse contexto, seja a matriz !$ A !$ abaixo, em que !$ \alpha \in \mathbb{R} !$.

!$ A = \begin{bmatrix} \text{cos}(\alpha) & \text{sen}(\alpha) \\ -\text{sen}(\alpha) & \text{cos}(\alpha) \end{bmatrix} !$

Considere que a matriz !$ A !$ faça uma rotação por um ângulo α em um ponto !$ P(x,y) !$ do plano, na seguinte forma.

!$ A \cdot P = \begin{bmatrix} \text{cos}(\alpha) & \text{sen}(\alpha) \\ -\text{sen}(\alpha) & \text{cos}(\alpha) \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x\text{cos}(\alpha) + y\text{sen}(\alpha) \\ -x\text{sen}(\alpha) + y\text{cos}(\alpha) \end{bmatrix} !$

Então !$ P_1(x\text{cos}(\alpha) + y\text{sen}(\alpha), -x\text{sen}(\alpha) + y\text{cos}(\alpha)) !$ é o ponto obtido de pela rotação de !$ P !$, em torno da origem, por um ângulo α.

Tendo como referência essas informações, julgue o item.

!$ A^2 = A.A !$ é a matriz obtida quando se efetua uma rotação por um ângulo !$ 2 \cdot \alpha !$.

Uma matriz em duas dimensões !$ A_{2 \times 2} !$ é uma matriz de rotação quando a multiplicação de um par ordenado !$ V(x, y) !$ na forma de matriz coluna !$ V = \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} !$ por !$ A !$ produz como resultado um vetor !$ V_1 = \begin{bmatrix} x_1 \\ y_1 \end{bmatrix} !$, que pode ser identificado com o par ordenado !$ V_1(x_1, y_1) !$ cuja distância à origem é a mesma que !$ V !$. Nesse contexto, seja a matriz !$ A !$ abaixo, em que !$ \alpha \in \mathbb{R} !$.

!$ A = \begin{bmatrix} \text{cos}(\alpha) & \text{sen}(\alpha) \\ -\text{sen}(\alpha) & \text{cos}(\alpha) \end{bmatrix} !$

Considere que a matriz !$ A !$ faça uma rotação por um ângulo α em um ponto !$ P(x,y) !$ do plano, na seguinte forma.

!$ A \cdot P = \begin{bmatrix} \text{cos}(\alpha) & \text{sen}(\alpha) \\ -\text{sen}(\alpha) & \text{cos}(\alpha) \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x\text{cos}(\alpha) + y\text{sen}(\alpha) \\ -x\text{sen}(\alpha) + y\text{cos}(\alpha) \end{bmatrix} !$

Então !$ P_1(x\text{cos}(\alpha) + y\text{sen}(\alpha), -x\text{sen}(\alpha) + y\text{cos}(\alpha)) !$ é o ponto obtido de pela rotação de !$ P !$, em torno da origem, por um ângulo α.

Tendo como referência essas informações, julgue o item.

Se !$ A = \begin{bmatrix} {\sqrt{3} \over 2} & {1 \over 2} \\ -{1 \over 2} & {\sqrt{3} \over 2} \end{bmatrix} !$, então o ponto !$ P_1 !$(4,0) é obtido pela rotação através da matriz !$ A !$ de um ponto !$ P(x,y) !$ tal que !$ x !$ = 2.

Uma matriz em duas dimensões !$ A_{2 \times 2} !$ é uma matriz de rotação quando a multiplicação de um par ordenado !$ V(x, y) !$ na forma de matriz coluna !$ V = \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} !$ por !$ A !$ produz como resultado um vetor !$ V_1 = \begin{bmatrix} x_1 \\ y_1 \end{bmatrix} !$, que pode ser identificado com o par ordenado !$ V_1(x_1, y_1) !$ cuja distância à origem é a mesma que !$ V !$. Nesse contexto, seja a matriz !$ A !$ abaixo, em que !$ \alpha \in \mathbb{R} !$.

!$ A = \begin{bmatrix} \text{cos}(\alpha) & \text{sen}(\alpha) \\ -\text{sen}(\alpha) & \text{cos}(\alpha) \end{bmatrix} !$

Considere que a matriz !$ A !$ faça uma rotação por um ângulo α em um ponto !$ P(x,y) !$ do plano, na seguinte forma.

!$ A \cdot P = \begin{bmatrix} \text{cos}(\alpha) & \text{sen}(\alpha) \\ -\text{sen}(\alpha) & \text{cos}(\alpha) \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x\text{cos}(\alpha) + y\text{sen}(\alpha) \\ -x\text{sen}(\alpha) + y\text{cos}(\alpha) \end{bmatrix} !$

Então !$ P_1(x\text{cos}(\alpha) + y\text{sen}(\alpha), -x\text{sen}(\alpha) + y\text{cos}(\alpha)) !$ é o ponto obtido de pela rotação de !$ P !$, em torno da origem, por um ângulo α.

Tendo como referência essas informações, julgue o item.

Se α = –π/2, então o ponto !$ Q (\sqrt{2} , \sqrt{2}) !$ é rotacionado no sentido anti-horário para o segundo quadrante.

Uma matriz em duas dimensões !$ A_{2 \times 2} !$ é uma matriz de rotação quando a multiplicação de um par ordenado !$ V(x, y) !$ na forma de matriz coluna !$ V = \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} !$ por !$ A !$ produz como resultado um vetor !$ V_1 = \begin{bmatrix} x_1 \\ y_1 \end{bmatrix} !$, que pode ser identificado com o par ordenado !$ V_1(x_1, y_1) !$ cuja distância à origem é a mesma que !$ V !$. Nesse contexto, seja a matriz !$ A !$ abaixo, em que !$ \alpha \in \mathbb{R} !$.

!$ A = \begin{bmatrix} \text{cos}(\alpha) & \text{sen}(\alpha) \\ -\text{sen}(\alpha) & \text{cos}(\alpha) \end{bmatrix} !$

Considere que a matriz !$ A !$ faça uma rotação por um ângulo α em um ponto !$ P(x,y) !$ do plano, na seguinte forma.

!$ A \cdot P = \begin{bmatrix} \text{cos}(\alpha) & \text{sen}(\alpha) \\ -\text{sen}(\alpha) & \text{cos}(\alpha) \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x\text{cos}(\alpha) + y\text{sen}(\alpha) \\ -x\text{sen}(\alpha) + y\text{cos}(\alpha) \end{bmatrix} !$

Então !$ P_1(x\text{cos}(\alpha) + y\text{sen}(\alpha), -x\text{sen}(\alpha) + y\text{cos}(\alpha)) !$ é o ponto obtido de pela rotação de !$ P !$, em torno da origem, por um ângulo α.

Tendo como referência essas informações, julgue o item.

Se α = π/2, então o ponto !$ P !$(3, 1) é rotacionado para o ponto !$ P_1 !$(1,-3) no sentido horário.

Uma matriz em duas dimensões !$ A_{2 \times 2} !$ é uma matriz de rotação quando a multiplicação de um par ordenado !$ V(x, y) !$ na forma de matriz coluna !$ V = \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} !$ por !$ A !$ produz como resultado um vetor !$ V_1 = \begin{bmatrix} x_1 \\ y_1 \end{bmatrix} !$, que pode ser identificado com o par ordenado !$ V_1(x_1, y_1) !$ cuja distância à origem é a mesma que !$ V !$. Nesse contexto, seja a matriz !$ A !$ abaixo, em que !$ \alpha \in \mathbb{R} !$.

!$ A = \begin{bmatrix} \text{cos}(\alpha) & \text{sen}(\alpha) \\ -\text{sen}(\alpha) & \text{cos}(\alpha) \end{bmatrix} !$

Considere que a matriz !$ A !$ faça uma rotação por um ângulo α em um ponto !$ P(x,y) !$ do plano, na seguinte forma.

!$ A \cdot P = \begin{bmatrix} \text{cos}(\alpha) & \text{sen}(\alpha) \\ -\text{sen}(\alpha) & \text{cos}(\alpha) \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x\text{cos}(\alpha) + y\text{sen}(\alpha) \\ -x\text{sen}(\alpha) + y\text{cos}(\alpha) \end{bmatrix} !$

Então !$ P_1(x\text{cos}(\alpha) + y\text{sen}(\alpha), -x\text{sen}(\alpha) + y\text{cos}(\alpha)) !$ é o ponto obtido de pela rotação de !$ P !$, em torno da origem, por um ângulo α.

Tendo como referência essas informações, julgue o item.

O determinante da matriz !$ A !$ é igual a 0.

As figuras anteriores ilustram os dois formatos de embalagens de papelão que uma empresa confecciona em variados tamanhos. Considerando que, em todas as situações, as caixas estão fechadas, desconsiderando as bordas do material deixadas nas extremidades para a colagem das caixas e assumindo 3,14 como o valor aproximado de π, julgue o item a seguir.

Para uma embalagem do tipo II, se o raio for duplicado e a altura for mantida, então o volume também será duplicado.

As figuras anteriores ilustram os dois formatos de embalagens de papelão que uma empresa confecciona em variados tamanhos. Considerando que, em todas as situações, as caixas estão fechadas, desconsiderando as bordas do material deixadas nas extremidades para a colagem das caixas e assumindo 3,14 como o valor aproximado de π, julgue o item a seguir.

Se duas embalagens, uma do tipo I e outra do tipo II, ambas com capacidade de 1 litro, forem confeccionadas com a mesma altura de 10 cm, então suas áreas laterais também serão iguais.

As figuras anteriores ilustram os dois formatos de embalagens de papelão que uma empresa confecciona em variados tamanhos. Considerando que, em todas as situações, as caixas estão fechadas, desconsiderando as bordas do material deixadas nas extremidades para a colagem das caixas e assumindo 3,14 como o valor aproximado de π, julgue o item a seguir.

Uma embalagem com formato do tipo II com raio de 8 cm e capacidade para 1 litro deve ter altura superior a 5 cm.

As figuras anteriores ilustram os dois formatos de embalagens de papelão que uma empresa confecciona em variados tamanhos. Considerando que, em todas as situações, as caixas estão fechadas, desconsiderando as bordas do material deixadas nas extremidades para a colagem das caixas e assumindo 3,14 como o valor aproximado de π, julgue o item a seguir.

Considere que a empresa deva produzir 20.000 embalagens do tipo I, cada uma com 216 cm³ de capacidade, com dimensões 4 cm × 6 cm × 9 cm, usando um material que custa R$ 0,005 o cm². Nessa situação, se o formato inicial das embalagens for alterado para 6 cm × 6 cm × 6 cm, a empresa economizará mais de R$ 1.000,00.

As figuras anteriores ilustram os dois formatos de embalagens de papelão que uma empresa confecciona em variados tamanhos. Considerando que, em todas as situações, as caixas estão fechadas, desconsiderando as bordas do material deixadas nas extremidades para a colagem das caixas e assumindo 3,14 como o valor aproximado de π, julgue o item a seguir.

Para confeccionar uma embalagem do tipo I no formato cúbico e com 1 litro de capacidade, é necessária uma quantidade de papelão superior a 500 cm².