Um poliedro convexo é composto por 62 faces, todas formadas por polígonos regulares. Em cada vértice, encontram-se exatamente dois quadrados, um triângulo e um pentágono. Com base nessas informações, determine quantas dessas faces são quadradas.

Durante um sorteio promocional, dois números diferentes são escolhidos aleatoriamente entre os números {1,2,3,4,5} para definir um código secreto. Esses dois números são então multiplicados para gerar a chave final do sorteio. Qual é a probabilidade de o produto ser um número par?

Durante uma aula de matemática, a professora propôs um desafio relacionado a identidades algébricas. Ela escreveu no quadro a seguinte equação:

\( x+\dfrac{1}{x}=\sqrt{5} \)

E pediu para que os alunos determinassem o valor da seguinte expressão

\( x \)¹¹ − 7\( x \)⁷ + \( x \)³

Sabendo que x é um número real que satisfaz a equação dada, qual o valor da expressão?

Durante a montagem de um painel eletrônico, um professor pediu aos alunos que determinassem propriedades numéricas de uma constante gerada pelo sistema:

\( N \) = 34 ⋅ 34 ⋅ 63 ⋅ 270.

Como parte do desafio, os alunos deveriam calcular a razão entre a soma dos divisores ímpares de N e a soma dos divisores pares de N. Com base nos cálculos corretos, qual é essa razão?

Durante uma aula de geometria espacial, a professora desafiou os alunos com uma atividade prática: montar uma estrutura em forma de estrela usando 11 palitos de madeira, todos com 2 unidades de comprimento. Ao unirem os palitos com pinos nas extremidades, os alunos formaram o polígono ABCDE, conforme a figura abaixo.

Curiosos, os alunos começaram a calcular a área do pentágono ABCDE. Após algumas medições e aplicações de fórmulas geométricas, descobriram que a área podia ser expressa como

\( \sqrt{m}+\sqrt{n}, \)

onde m e n são números inteiros positivos. Qual o valor de \( m \) + \( n \)?

Durante uma feira de ciências, os alunos criaram uma máquina que transforma uma quantidade de energia x em uma função matemática f(x), definida apenas para números racionais positivos. Essa máquina tem uma característica curiosa: quando se insere o produto de duas quantidades de energia, o resultado é a soma das transformações individuais, ou seja,

\( f \)(\( a \) ⋅ \( b \)) = \( f \)(\( a \)) + \( f \)(\( b \))

para todos os números racionais positivos a e b. Além disso, para um número primo p, vale que

\( f \)(\( p \)) = \( p \).

Um dos alunos desafiou os visitantes:

“Entre os valores abaixo de entrada de energia x, qual deles gera uma transformação negativa, isto é, \( f \)(\( x \)) < 0?”

Dois cones circulares retos com vértices voltados para baixo, como mostrado na figura abaixo, contêm a mesma quantidade de líquido. Os raios dos topos das superfícies líquidas são 3 cm e 6 cm. Em cada cone é lançada uma bola de gude esférica de raio 1 cm, que afunda e fica completamente submersa sem derramar líquido. Qual é a razão entre a elevação do nível do líquido no cone estreito e a elevação do nível do líquido no cone largo?

Durante a programação de um sistema de inteligência artificial, dois parâmetros x e y precisam ser ajustados para minimizar o custo computacional, representado pela função:

\( C \)(\( x \), \( y \)) = (\( x \)\( y \) − 1)² + (\( x \) + \( y \))²

Sabendo que x e y são números reais, determine o menor valor possível dessa função de custo.

Quando três números inteiros positivos a, b e c são multiplicados, seu produto é 100. Suponha \( a \) < \( b \) < \( c \). De quantas maneiras os números podem ser escolhidos?

Considere três números reais a, b e c tais que a média aritmética dos números 0. A média aritmética de a², b² e c² é 10. Qual é a média aritmética de \( a \)\( b \), \( a \)c e \( b \)c?