As equações gerais dos planos paralelos a \( \alpha_1: x - 2y + z - 1 = 0 \) que são tangentes à superfície esférica \( S: x^2 + y^2 + z^2 + 2x - 4y - 8z + 15 = 0 \) são:

Muitas vezes professores de cursos de Cálculo ou Geometria Analítica recorrem ao traço com uso de planos, para esboçar uma superfície S em um sistema com três eixos coordenados. Dessa forma, é possível afi rmar que a alternativa que melhor representa a equação de um hiperboloide de duas folhas é:

Considere uma amostra com n termos (x₁,x₂, ... ,x_n),onde \( \overline{x} \),S e S² representam, respectivamente, a média aritmética, o desvio padrão amostral e a variância amostral. NÃO podemos afirmar que:

Um pesquisador em Matemática está explorando as propriedades das raízes de polinômios de terceiro grau. Durante seu estudo, ele se deparou com uma expressão curiosa envolvendo radicais conjugados, definida por:

\( S=\sqrt[3]{517-56\sqrt{85}}+\sqrt[3]{517+56\sqrt{85}} \)

O desafio consiste em simplificar essa expressão para sua forma mais elegante. Sabendo que a expressão apresentada admite simplificação exata e que seu valor é um número inteiro, assinale a alternativa que corresponde ao valor de S:

Um estudante de Ensino Médio, ao revisar o conteúdo de geometria plana, decidiu criar um problema baseado em um esboço de seu próprio caderno. O desenho representa duas circunferências de raios distintos, apoiadas tangencialmente a uma reta r, que simula uma régua inclinada, de modo que ambas fiquem localizadas em um mesmo semiplano em relação a r. A figura descreve as circunferências de centros C1 e C2, tangentes à reta nos pontos M e N, respectivamente. Após realizar medições em seu desenho, o estudante anotou que a distância entre os pontos de tangência MN mede 50 cm, a distância entre os centros das circunferências C₁C₂ é de 51 cm e a área do quadrilátero C₁C₂MN é igual a 400 cm². Considerando que p e q representam as áreas das circunferências de centros C₁ e C₂ , respectivamente, o valor da razão q/p é igual a:

Deseja-se confeccionar uma embalagem no formato de um prisma triangular regular, sem tampa, utilizando uma chapa metálica plana. A chapa original possui o formato de um triângulo equilátero com lado medindo 26 cm, conforme ilustrado na figura. Para a montagem, são demarcadas três abas retangulares de largura x em cada um dos lados do triângulo original. Ao dobrar essas abas verticalmente em um ângulo de 90°, elas passam a constituir as paredes laterais da caixa. Considerando que a largura das abas é x = 2 cm, a medida do lado do triângulo equilátero interno s, que corresponde à base da embalagem resultante é:

Considere um cubo de aresta a e uma esfera de raio r = a/2. Ambos os sólidos estão apoiados sobre um plano horizontal β, de modo que o cubo repousa sobre uma de suas faces e a esfera também está em contato com o plano. Sabe-se que a esfera é tangente ao cubo exatamente no centro de uma de suas faces laterais. Nessas condições, a distância d entre o centro da face de apoio do cubo no plano β e o centro da esfera é:

No Sistema Francês de Amortização (Tabela Price), um financiamento de valor PV é pago em n prestações mensais iguais R, com taxa de juros composta i ao mês e vencimento da primeira prestação ao final do 1º mês. Após o pagamento da k-ésima prestação (1 ≤ k < n), define-se o saldo devedor SD_k como o valor, na data imediatamente após esse pagamento, financeiramente equivalente às prestações restantes. A expressão CORRETA para SD_k é:

Uma empresa adquiriu um maquinário industrial no valor de R$ 500.000,00. Para o pagamento, o banco ofereceu um plano de financiamento em 12 parcelas mensais, iguais e sucessivas (R), sob uma taxa de juros compostos nominal de 36% ao ano, com capitalização mensal. Entretanto, o contrato prevê uma carência de 3 meses para o início do primeiro pagamento. Ou seja, a primeira parcela será paga exatamente ao final do 4º mês após a compra. Sabendo que os juros incidem normalmente durante o período de carência, a expressão que define o valor de cada parcela é:

Uma loja de informática vendeu um equipamento cujo preço à vista, na data da compra (mês 0), era de R$ 12.000,00. O cliente optou por pagar esse valor em uma única parcela com vencimento para 6 meses após a compra, sob regime de capitalização composta à taxa de 2% ao mês. Ao final do 4º mês, o cliente solicita uma renegociação da dívida, propondo substituir o montante devido por dois pagamentos iguais de valor V. O primeiro pagamento seria efetuado no ato da renegociação (mês 4) e o segundo, 5 meses após esse evento (mês 9). Considerando a mesma taxa de juros de 2% ao mês e o regime de capitalização composta, o valor aproximado de cada pagamento V, é: