Determine o valor de c para que a reta 2x + y + c = 0 seja normal à parábola y²  = -8x.

Um diamante tem o formato de uma pirâmide quadrangular regular e um tronco de pirâmide regular com a mesma base, conforme mostra a figura. A partir das medidas mostradas na figura, determine o volume do diamante. 

As integrais que não possuem uma primitiva expressa por funções elementares são chamadas de integrais não elementares. São exemplos \( \int e^{-x^2} dx, \) usada em Estatística, \( \int \dfrac{\text{sen}(x)}{x} dx, \) usada em Engenharia e\(\int \dfrac{1}{\ln(x)} dx,\) usada em teoria dos números. Para calcular uma aproximação para \( \int e^{-x^2} dx, \) uma  alternativa seria expandir a função \( f(x) = e^{-x^2} \) em série de Taylor em torno de zero até uma determinada ordem e proceder à integração do polinômio resultante. Com isto em mente, qual seria o valor aproximado de \( \int e^{-x^2} dx \) utilizando uma expansão do polinômio de Taylor de quarto grau?

Observação: É dada a fórmula da série de Taylor: 
\( f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{f^{(n)}(a)}{n!} (x - a)^n, \) em que f(n) é a derivada de ordem n da função f.

Um processo industrial consiste em produzir um determinado parafuso para a indústria aeronáutica, que exige uma precisão bastante grande em todas as peças utilizadas. Cada parafuso é confeccionado em uma máquina, que produz em média 85% dos parafusos dentro das especificações recomendadas. Ao sair da máquina, o parafuso passa por uma esteira, onde o primeiro teste de controle de qualidade é realizado: uma foto é tirada do parafuso, e, a seguir, é processada por um algoritmo. Quando o parafuso está dentro das especificações, o teste aprova o parafuso em 90% dos casos, e, quando está fora das especificações, o parafuso é reprovado em 95% dos casos. Em seguida, o parafuso passa por uma balança de precisão; se o parafuso estiver dentro das especificações exigidas, é aprovado em 80% dos casos; e, quando o parafuso está fora das especificações, é reprovado em 70% dos casos. Considere os testes independentes. 

Se um parafuso não passou pelo primeiro controle de qualidade, mas passou pelo segundo, qual das opções abaixo mais se aproxima da probabilidade de estar respeitando as especificações?

Em uma pequena cidade, há 10.000 residências. Quando se trata de assistir televisão, os moradores têm três opções: podem assinar a TV a cabo, utilizar a internet com Youtube, Netflix etc., ou usar a TV aberta. Uma pesquisa revela que, em um determinado ano, 80% dos clientes da TV a cabo continuam com a TV a cabo, 10% mudam para a internet e 10% passam a assistir a TV aberta. No mesmo período, 90% dos espectadores de internet continuam com o serviço de internet, 5% mudam para a TV a cabo e 5% passam à TV aberta. E, das pessoas que começaram o ano usando TV aberta, 85% continuam na TV aberta, 5% assinam o serviço de TV a cabo e 10% passam a assistir televisão via internet. 



Se a distribuição atual for de 6.000 residências com TV a cabo, 2.500 com serviço de internet e 1.500 na TV aberta, quantos de cada tipo haverá daqui a um ano e, considerando que as preferências dos consumidores não se alterem, daqui a dois anos?

Considere a matriz linha nas opções de resposta na ordem: TV a cabo, serviço de internet e TV aberta. Por exemplo, a matriz [1000,2000,4000] significa que haverá 1000 expectadores de TV a cabo, 2000 expectadores de serviço de Internet e 4000 expectadores de TV aberta.

Uma indústria de faróis de motocicleta fabrica uma lâmpada de 30 watts que, de acordo com as especificações da embalagem, tem vida média de 900h, com desvio padrão de 50h. Um fabricante de motocicletas deseja estimar a probabilidade de uma lâmpada do farol queimar em menos de 700h. Considerando que a distribuição seja simétrica em torno da média, qual é a diferença entre os valores encontrados para esta probabilidade utilizando o valor máximo previsto pela desigualdade de Chebyshev e o valor tabelado para a distribuição normal? Utilize a tabela de distribuição normal em anexo.

Teorema de Chebyshev: A probabilidade de uma V.A. X assumir um valor k = desvios padrão da média é, pelo menos,

\( 1 - \dfrac{1}{\kappa^2} \). Ou seja: \( P(\mu - \kappa\sigma < X < \mu + \kappa\sigma) \ge 1 - \dfrac{1}{\kappa^2} \).

Determine, entre os pares abaixo, qual representa o núcleo e a imagem da transformação linear \( T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3 \) definida por:

\( T\left(\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}\right) = \begin{bmatrix} x_1 - 5x_2 \\ -3x_1 + 15x_2 \\ -2x_1 + 10x_2 \end{bmatrix} \)

Considere span{v} o subespaço gerado pelo vetor v.

 

Calcule a integral \(\int_{-2}^{2} \dfrac{1}{x^2} dx.\)

A área de uma figura plana em coordenadas polares (r, θ), para α  < θ < β, é dada por \( A = \int_{\alpha}^{\beta} \dfrac{r^2}{2} d\theta. \) Com isto em mente, calcule a área de uma pétala da rosa de três pétalas, definida por r = cos(3θ), como indica a figura:

Calcule \( \iint_S \dfrac{x}{x^2+y^2} dxdy \) onde S é a região limitada entre a parábola \(y = \dfrac{x^2}{2}\) e a reta y = x.