Dada a função definida por z = sen(3x + 4y), suas derivadas parciais em relação a x e a y são, respectivamente,

Os coeficientes da equação polinomial x³ – 2022x² + mx + n = 0, na incógnita x, são números inteiros e suas três soluções são positivas. Apenas uma delas é um número inteiro que, por sua vez, é igual a soma das outras duas. No plano cartesiano de eixos ortogonais nm, todos os pares ordenados (m, n) que satisfazem as condições dadas pertencem ao gráfico de uma reta, cujos coeficientes angular e linear são, respectivamente,

A sequência de números complexos !$ Z_0, Z_1, Z_2, \cdots !$ é definida pela regra !$ Z_{ n+ 1} = { \large i Z_n \over Z_n} !$ , em que !$ \overline{ Z_n} !$ é o conjugado de Z_n e i^{2 = –1}.Admitindo que !$ | Z_0| = 1 = Z_{2022} !$, o número de valores possíveis para Z₀ é igual a

Os inteiros positivos m, n e p são escolhidos de maneira que m < n < p e que o sistema de equações a seguir tenha exatamente uma solução:

!$ { \begin{cases} 2x + y = 2022\\ y = | x - m | + | x - n | + | x - p | \end{cases}} !$

O menor valor possível de p é

Seja P o conjunto de permutações da sequência 1, 3, 6, 9, 12 para as quais o primeiro termo é diferente de 1. Sorteando-se aleatoriamente uma dessas sequências, a probabilidade de que o segundo termo seja 3 é igual a !$ { \large p\over q} !$ com !$ p,q \in IN^* !$ e mdc(p, q) = 1. Sendo assim, q – p é igual a

O plano !$ \pi !$ passa pelo ponto P = (4, 1, –1) e contém a reta r, com !$ P \notin r !$. A reta r passa pelos pontos A. = (1, 0, 2) e B. = (3, 3, 4) e tem !$ \vec{u} = (2, 3, 2) !$ como vetor diretor. Em tais condições e com !$ \lambda_1, \lambda_2 \in IR !$, a equação vetorial do plano !$ \pi !$ é

Existem n valores de r que fazem com que a função y = e^rx satisfaça a equação diferencial 2y" + y' – y = 0. A respeito de n e de r₁,r₂,…,r_n , é correto afirmar que

Uma bola esférica está sendo inflada de modo que seu volume aumenta a uma taxa de 150 cm³/s. Sabendo-se que o volume V de uma esfera de raio r é dado pela fórmula !$ V = { \large 4 \over 3} \pi r^3 !$, a taxa de aumento do raio quando o diâmetro da bola é igual a 30 cm é

A figura indica o gráfico da função !$ f : \mathbb{ R} - { \begin{Bmatrix} { \large 5 \over 2} \end{Bmatrix}} \rightarrow \mathbb{R} !$, definida por !$ f(x) = { \large 3 \over 2x - 5} !$, e o segmento de reta !$ \overline{PQ} !$, que intersecta o gráfico de f(x) em P(3, y_P) e Q(5, y_Q).

Nas condições dadas, a área da região marcada em cinza na figura, em unidades de área do plano cartesiano de eixos ortogonais, é igual a

Dois números reais negativos e um positivo são tais que a diferença entre o positivo e um dos negativos é igual a 6, e a diferença entre o dobro do positivo e o outro negativo é igual a 10. Sabendo-se que o número positivo está entre 0 e 5 e que o produto dos três números é o maior possível, então, o número real positivo é