Os clientes que utilizam um sistema podem ser classificados em três estados: -1, 0 e 1. Essa classificação é uma variável aleatória X cuja função de distribuição de probabilidade é definida como:

!$ P(x=k) \, = \, \begin {pmatrix} \dfrac {\theta} {2} \end {pmatrix}^{\mid k \mid} \, (1 \, - \, \theta)^{1- \, \mid k \mid}, !$ em que k = 1, 0 ou 1 e 0 < !$ \theta !$ < 1.

Considerando uma seqüência de variáveis aleatórias independentes X₁, ..., X_n, identicamente distribuídas como X, julgue o item a seguir.

A média !$ \sum_{i=1}^n \, \dfrac {X^2_i} {n} !$ é um estimador não tendencioso para !$ \theta !$.

Os clientes que utilizam um sistema podem ser classificados em três estados: -1, 0 e 1. Essa classificação é uma variável aleatória X cuja função de distribuição de probabilidade é definida como:

!$ P(x=k) \, = \, \begin {pmatrix} \dfrac {\theta} {2} \end {pmatrix}^{\mid k \mid} \, (1 \, - \, \theta)^{1- \, \mid k \mid}, !$ em que k = 1, 0 ou 1 e 0 < !$ \theta !$ < 1.

Considerando uma seqüência de variáveis aleatórias independentes X₁, ..., X_n, identicamente distribuídas como X, julgue o item a seguir.

Se !$ \hat{\theta} !$ é o estimador de máxima verossimilhança para !$ \theta !$, então !$ \ell_n \, \begin {pmatrix} \dfrac {1 \, - \, \hat {\theta}} { \hat {\theta}} \end {pmatrix} !$ é o estimador de máxima verossimilhança para !$ \ell_n \, \begin {pmatrix} \dfrac {1 \, - \, {\theta}} {{\theta}} \end {pmatrix} !$.

Os clientes que utilizam um sistema podem ser classificados em três estados: -1, 0 e 1. Essa classificação é uma variável aleatória X cuja função de distribuição de probabilidade é definida como:

!$ P(x=k) \, = \, \begin {pmatrix} \dfrac {\theta} {2} \end {pmatrix}^{\mid k \mid} \, (1 \, - \, \theta)^{1- \, \mid k \mid}, !$ em que k = 1, 0 ou 1 e 0 < !$ \theta !$ < 1.

Considerando uma seqüência de variáveis aleatórias independentes X₁, ..., X_n, identicamente distribuídas como X, julgue o item a seguir.

A média aritmética !$ \sum_{i=1}^n \dfrac {x_i} {n} !$ é o estimador de máxima verossimilhança para !$ \theta. !$

Os clientes que utilizam um sistema podem ser classificados em três estados: -1, 0 e 1. Essa classificação é uma variável aleatória X cuja função de distribuição de probabilidade é definida como:

!$ P(x=k) \, = \, \begin {pmatrix} \dfrac {\theta} {2} \end {pmatrix}^{\mid k \mid} \, (1 \, - \, \theta)^{1- \, \mid k \mid}, !$ em que k = 1, 0 ou 1 e 0 < !$ \theta !$ < 1.

Considerando uma seqüência de variáveis aleatórias independentes X₁, ..., X_n, identicamente distribuídas como X, julgue o item a seguir.

Não há um estimador de momentos para !$ \theta !$.

Considere que o desempenho de um tipo de sistema seja uma variável aleatória X cuja função de distribuição é dada por !$ F(x) \, = \, \dfrac {1} {1 \, + \, exp(-(x-\theta)/\lambda)} !$, em que !$ - \infty \, < \, \theta \, < \, + \, \infty \, !$ e !$ \lambda \, > \, 0 !$ são os parâmetros do modelo. Considere ainda que !$ D \, = \, \{x_1, \, ..., \, x_n \} !$ seja um conjunto de dados cujos elementos são n realizações independentes de X, e que Q₁, Q₂ e Q₃ são, respectivamente, o primeiro, a mediana e o terceiro quartil do conjunto de dados D.

Com relação a essas informações, julgue o item a seguir.

Uma estimativa de momentos para !$ \lamda !$ pode ser obtida em função da variância amostral.

Considere que o desempenho de um tipo de sistema seja uma variável aleatória X cuja função de distribuição é dada por !$ F(x) \, = \, \dfrac {1} {1 \, + \, exp(-(x-\theta)/\lambda)} !$, em que !$ - \infty \, < \, \theta \, < \, + \, \infty \, !$ e !$ \lambda \, > \, 0 !$ são os parâmetros do modelo. Considere ainda que !$ D \, = \, \{x_1, \, ..., \, x_n \} !$ seja um conjunto de dados cujos elementos são n realizações independentes de X, e que Q₁, Q₂ e Q₃ são, respectivamente, o primeiro, a mediana e o terceiro quartil do conjunto de dados D.

Com relação a essas informações, julgue o item a seguir.

A média amostral !$ \sum_{i=1}^n \, \dfrac {x_i} {n} !$ segue uma distribuição aproximadamente normal.

Considere que o desempenho de um tipo de sistema seja uma variável aleatória X cuja função de distribuição é dada por !$ F(x) \, = \, \dfrac {1} {1 \, + \, exp(-(x-\theta)/\lambda)} !$, em que !$ - \infty \, < \, \theta \, < \, + \, \infty \, !$ e !$ \lambda \, > \, 0 !$ são os parâmetros do modelo. Considere ainda que !$ D \, = \, \{x_1, \, ..., \, x_n \} !$ seja um conjunto de dados cujos elementos são n realizações independentes de X, e que Q₁, Q₂ e Q₃ são, respectivamente, o primeiro, a mediana e o terceiro quartil do conjunto de dados D.

Com relação a essas informações, julgue o item a seguir.

O parâmetro !$ \lambda !$ pode ser estimado em função do intervalo entre quartis Q₃ - Q₁.

Considere que o desempenho de um tipo de sistema seja uma variável aleatória X cuja função de distribuição é dada por !$ F(x) \, = \, \dfrac {1} {1 \, + \, exp(-(x-\theta)/\lambda)} !$, em que !$ - \infty \, < \, \theta \, < \, + \, \infty \, !$ e !$ \lambda \, > \, 0 !$ são os parâmetros do modelo. Considere ainda que !$ D \, = \, \{x_1, \, ..., \, x_n \} !$ seja um conjunto de dados cujos elementos são n realizações independentes de X, e que Q₁, Q₂ e Q₃ são, respectivamente, o primeiro, a mediana e o terceiro quartil do conjunto de dados D.

Com relação a essas informações, julgue o item a seguir.

A estimativa de mínima variância para !$ \theta !$ é a média aritmética !$ \sum_{i=1}^n \dfrac {x_i} {n}. !$

Considere que o desempenho de um tipo de sistema seja uma variável aleatória X cuja função de distribuição é dada por !$ F(x) \, = \, \dfrac {1} {1 \, + \, exp(-(x-\theta)/\lambda)} !$, em que !$ - \infty \, < \, \theta \, < \, + \, \infty \, !$ e !$ \lambda \, > \, 0 !$ são os parâmetros do modelo. Considere ainda que !$ D \, = \, \{x_1, \, ..., \, x_n \} !$ seja um conjunto de dados cujos elementos são n realizações independentes de X, e que Q₁, Q₂ e Q₃ são, respectivamente, o primeiro, a mediana e o terceiro quartil do conjunto de dados D.

Com relação a essas informações, julgue o item a seguir.

A média aritmética !$ \sum_{i=1}^n \, \dfrac {x_1} {n} !$ é a estimativa não tendenciosa para !$ \theta. !$

Considere que o desempenho de um tipo de sistema seja uma variável aleatória X cuja função de distribuição é dada por !$ F(x) \, = \, \dfrac {1} {1 \, + \, exp(-(x-\theta)/\lambda)} !$, em que !$ - \infty \, < \, \theta \, < \, + \, \infty \, !$ e !$ \lambda \, > \, 0 !$ são os parâmetros do modelo. Considere ainda que !$ D \, = \, \{x_1, \, ..., \, x_n \} !$ seja um conjunto de dados cujos elementos são n realizações independentes de X, e que Q₁, Q₂ e Q₃ são, respectivamente, o primeiro, a mediana e o terceiro quartil do conjunto de dados D.

Com relação a essas informações, julgue o item a seguir.

A média !$ \dfrac {Q_1 \, + \, Q_3} {2} !$ é uma estimativa para !$ \theta. !$