Preencha as lacunas e assinale a alternativa correta.

Mostraremos que, se existir uma função f ∈ C² tal que satisfaz a equação de Laplace Δ f  = 0 no disco unitário D ={(x,y) ∈ \(\mathbb{R}\)²: x² + y² < 1} com a condição de bordo f (x,y) = $\varphi $ (x,y) para pontos (x,y) ∈ ∂ D, então tal função é única. De fato, suponha que f e g são duas soluções para a equação de Laplace com a condição de bordo descrita.

Mostraremos que devemos ter f (x,y) = g (x,y), para todo (x,y) ∈ D. Note que a função h (x,y) = f  (x,y) − g  (x,y) é de classe C² e que Δ h = ________________, para todo ponto em D. Também temos que h  (x,y) = 0, para todo (x,y) ∈ ∂ D.

Aplicando a identidade de Green, obtemos \(\int\)_D|\(\vec{\nabla}\)h|² dA = − \(\int\)_D h Δ hdA + \(\oint_{\partial D}\)h\(\vec{\nabla}\)h.\( d\vec{s} \), em que \(\vec{\nabla}\)h denota o gradiente de h. Como Δ h= 0 em D e h=0 em∂ D, obtemos \(\int\)_D|\(\vec{\nabla}\)h|² dA   = 0.

Sendo |\(\vec{\nabla}\)h|² uma função não negativa, concluímos que \(\vec{\nabla}\)h = \(\vec{0}\). Como D é um conjunto __________________, concluímos que h deve ser __________________ em D. Uma vez que  h = 0 em ∂ D., segue que h é identicamente nula em D e que, portanto, f = g em D, como queríamos demonstrar.