A Lemniscata de Gerono corresponde à curva fechada cuja parametrização no plano pode ser dada por  y (t) = (cos(t),sen(t)cos(t)), para t  ∈ [0,2π]. Tal curva tem o formato que lembra o símbolo do infinito, e a região do plano delimitada por y corresponde a dois conjuntos abertos conexos. Assinale a alternativa que apresenta o valor correto da área total da região delimitada por y .

Considere a função complexa de variável complexa f(z) definida por:

\( f(x) = \dfrac{e^z - 1}{z^2(z - i)}. \)

Com base no exposto, assinale a alternativa correta.

Considere o valor vetorial conservativo \(\vec{F}\) (x,y) = (e^x + y², 2xy) cuja função potencial é dada por f (x,y) = e^x + xy². Assinale a alternativa que apresenta corretamente o valor da integral de linha \(\int_r\) \(\vec{F}\) \( d\vec{r} \) sobre a curva parametrizada y (t) = (tcos(2πt), tsen (2πt)) com t ∈ [0,1].

Sobre a série

\(\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{(-1)^{n+1}}{n}\)

assinale a alternativa correta.

Considere a função f (x,y) = x² +y² −2x−4y+6 definida no conjunto compacto K ={(x,y) ∈ \(\mathbb{R}\)²: x² +y² ≤ 9}. Sobre os pontos críticos de f no interior de K, assinale a alternativa correta.

Seja k: (-1,1) → \(\mathbb{R}\) uma função C² que satisfaz k" (t) = c,∀t∈(−1,1), em que c é um número real dado, é correto afirmar que

Considere D \(\subseteq\) \(\mathbb{R}\)² um domínio regular sem fronteira e F (x,y)=(P(x,y),Q(x,y))um campo de classe C¹. O Teorema de Green garante que

\( \int_{D} \left( \dfrac{\partial Q}{\partial x} - \dfrac{\partial P}{\partial y} \right) dxdy = 0. \)

Como corolário, podemos demonstrar a primeira identidade de Green, o qual afirma que, se F e g são funções reais de classe C¹ definidas em D, então

\( \int_{D} \left( \dfrac{\partial Q}{\partial x} - \dfrac{\partial P}{\partial y} \right) dxdy = 0. \)

Nesse contexto, assinale a alternativa que apresenta em quais campos se deve aplicar o Teorema de Green para obter a identidade anterior.

A respeito da série

\(\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{\pi^{en}}{e^{\pi n} + \pi^{en}}\)

é correto afirmar que

Com base no Problema de Valor Inicial

\(\begin{cases} y'' - 4y' - 5y = 0, \\ y'(0) = 4, \\ y(0) = 2. \end{cases}\)

qual das seguintes alternativas corresponde ao valor do limite de y(t) quando t tende a +∞?