Em um estudo fictício avançado de cosmologia teórica, postula-se que a força de interação \( F \)⃗ entre duas massas escuras, \( m \)1 e \( m \)2, separadas por uma distância \( r \), segue uma lei modificada expressa por
\(\vec{F} = \Gamma \dfrac{m_1 m_2}{r^4} e^{-\left(\dfrac{kr}{v}\right)}\)
onde \( v \) é uma velocidade constante e \( k \) representa uma frequência fundamental de oscilação do vácuo. Com base nessas informações, analise as seguintes assertivas sobre a física e a geometria envolvidas:
I. Para que a equação da força seja dimensionalmente consistente, a constante \( \Gamma \) deve possuir dimensões de [\( M \)] −1[\( L \)] 5[\( T \)] −2 no Sistema Internacional de Unidades.
II. O argumento da função exponencial \( \left(\dfrac{kr}{v}\right) \) é uma grandeza adimensional, o que está em conformidade com os princípios da análise dimensional para funções transcendentes.
III. Dados os vetores \( a \)⃗ = 3\( \hat{i} \)+ 2\( \hat{j} \)− \( \hat{k} \), \( b \)⃗ = \( \hat{i} \)− \( \hat{j} \)+ 2\( \hat{k} \) e \( c \)⃗ = 2\( \hat{i} \)+ 4\( \hat{j} \)+ 5\( \hat{k} \), o volume do paralelepípedo cujas arestas coincidem com esses vetores, calculado pelo módulo do produto misto | \( a \)⃗ ⋅ (\( b \)⃗ × \( c \)⃗) |, seria de 47 unidades de volume.
Quais estão corretas?
