Com relação à teoria da produção, julgue o item a seguir como certo ou errado:

Item 4 - Uma firma produz de acordo com uma tecnologia de múltiplos processos de Leontiev com capital (K) e trabalho (L). Especificamente, de acordo com dois processos dados por !$ min \{ {\large{K \over 3}}, {\large{L \over 2}} \} !$ e !$ min \{ K, {\large{L \over 3}} \} !$. Suponha que K = 5 e L = 8. Se o trabalhador adicional custa 70 e se o preço da unidade do produto no mercado é 210, então não vale a pena contratar o trabalhador adicional.

Com relação à teoria da produção, julgue o item a seguir como certo ou errado:

Item 3 - Considere a função de produção !$ f(K,L) !$ definida por !$ f(K,L)=(K-L)^2 !$, se !$ K \le L !$, e !$ f(K,L)=(K-L)^3 !$, se !$ K>L !$. Então, ao longo de linhas retas que partem da origem a taxa técnica de substituição é constante, mas a função não é homotética.

Com relação à teoria da produção, julgue o item a seguir como certo ou errado:

Item 2 - Seja !$ Q=min !$ !$ \{ {\large{K \over 2}}, L \} !$ uma função de produção Leontiev sobre capital (K) e trabalho (L). Suponha que L está fixo e defina a relação produto-trabalho !$ q={\large{Q \over L}} !$ e a relação capital-trabalho !$ k+{\large{K \over L}} !$. Defina a função !$ φ(k)={\large{Q \over L}}=min !$ !$ \{ {\large{k \over 2}},1 \} !$, conhecida como função de produção intensiva de Leontiev, de forma que !$ q=φ(k) !$. Se !$ k ∈ [0,2] !$, então a produção é tecnologicamente ineficiente.

Com relação à teoria da produção, julgue o item a seguir como certo ou errado:

Item 1 - Seja !$ Q(t)=γ(t)K(t)âL(t)^{1-a} !$, com !$ 0 < a < 1 !$, uma função de produção Cobb-Douglas que varia continuamente no tempo, como função do capital (K) e do trabalho (L). O termo !$ γ(t) !$ é um parâmetro que varia no tempo. Suponha que todas as funções são diferenciáveis e positivas e defina as taxas de crescimento: !$ q(t)=Q ' (t)/Q(t) !$, !$ g(t)=γ '(t)/γ(t) !$, !$ k(t)=K '(t)/K(t) !$ e !$ \ell(t)=L '(t)/L(t) !$. O superscrito “linha” denota a derivada em relação ao tempo. Suponha que a elasticidade-produto do capital, !$ ε_K={\large{∂Q \over ∂ K}}{\large{K \over Q}} !$, e a elasticidade-produto do trabalho, !$ ε_L={\large{∂ Q \over ∂ L}} {\large{KL \over Q}} !$, são, respectivamente, 0,5 e 0,5. Se o produto cresce 2 % por ano, o capital cresce 1,8% por ano e o trabalho cresce 1% por ano, então o resíduo de Solow, que corresponde ao progresso técnico, é de 0,6% ao ano.

Com relação à teoria da produção, julgue o item a seguir como certo ou errado:

Item 0 - Seja !$ f(z_1, ..., z_m)-γ(δ_1z_1^{-ρ}+\cdots +δ_mz_m^{-ρ})^{- ν/ρ} !$ uma função de produção CES, em que !$ γ, ν, δ_1 ..., δ_m > 0 !$, !$ \textstyle \sum_{i=1}^m δ_i=1 !$ e !$ ρ \ge -1 !$. Então o limite da CES quando a elasticidade de substituição diverge para !$ + ∞ !$ é uma função de produção Leontiev, independentemente do grau de homogeneidade de f.

Seja !$ p=(p_1 ..., p_n) !$ o vetor de preços, todos estritamente positivos, seja !$ r > 0 !$ a renda do consumidor e !$ \bar{u} !$ um nível de utilidade. Denote por !$ x(p,r) !$ o vetor de demandas marshallianas dos n bens sob o vetor de preços !$ p !$ e renda !$ r !$, por !$ ν(p.r) !$ a utilidade indireta sob o vetor de preços !$ p !$ e renda !$ r !$, por !$ e(p, \bar{u}) !$ a função dispêndio sob o vetor de preços !$ p !$ e nível de utilidade !$ \bar{u} !$ e por !$ h(p, \bar{u}) !$ o vetor de demandas hicksianas dos n bens sob o vetor de preços !$ p !$ e nível de utilidade !$ \bar{u} !$. Julgue o item a seguir como certo ou errado:

Item 4 - A matriz !$ S=[S_{ij}]_{n \times n} !$, definida como o jacobiano de !$ h(p, \bar{u}) !$ relativamente aos preços, isto é, !$ S_{ij}={\large{∂h_i \over ∂ p_j}} !$, para i,j=1, ... , n, é antissimétrica, semidefinida negativa e satisfaz !$ Sp=0_n !$, em que !$ 0_n !$ denota o vetor nulo n-dimensional.

Seja !$ p=(p_1 ..., p_n) !$ o vetor de preços, todos estritamente positivos, seja !$ r > 0 !$ a renda do consumidor e !$ \bar{u} !$ um nível de utilidade. Denote por !$ x(p,r) !$ o vetor de demandas marshallianas dos n bens sob o vetor de preços !$ p !$ e renda !$ r !$, por !$ ν(p.r) !$ a utilidade indireta sob o vetor de preços !$ p !$ e renda !$ r !$, por !$ e(p, \bar{u}) !$ a função dispêndio sob o vetor de preços !$ p !$ e nível de utilidade !$ \bar{u} !$ e por !$ h(p, \bar{u}) !$ o vetor de demandas hicksianas dos n bens sob o vetor de preços !$ p !$ e nível de utilidade !$ \bar{u} !$. Julgue o item a seguir como certo ou errado:

Item 3 - Se vale o princípio da valoração marginal decrescente, então a função dispêndio !$ e(p, \bar{u}) !$ é estritamente convexa nos preços.

Seja !$ p=(p_1 ..., p_n) !$ o vetor de preços, todos estritamente positivos, seja !$ r > 0 !$ a renda do consumidor e !$ \bar{u} !$ um nível de utilidade. Denote por !$ x(p,r) !$ o vetor de demandas marshallianas dos n bens sob o vetor de preços !$ p !$ e renda !$ r !$, por !$ ν(p.r) !$ a utilidade indireta sob o vetor de preços !$ p !$ e renda !$ r !$, por !$ e(p, \bar{u}) !$ a função dispêndio sob o vetor de preços !$ p !$ e nível de utilidade !$ \bar{u} !$ e por !$ h(p, \bar{u}) !$ o vetor de demandas hicksianas dos n bens sob o vetor de preços !$ p !$ e nível de utilidade !$ \bar{u} !$. Julgue o item a seguir como certo ou errado:

Item 2 - Seja !$ U(x_1,...,x_n)=min\{{\large{x_1 \over a_1}},...,{\large{x_n\over a_n}}\} !$, com !$ a_1, ...,a_n>0 !$, uma utilidade Leontiev. Então !$ e(p,\bar{u})=(a_1p_1+...a_np_n)/\bar{u} !$.

Seja !$ p=(p_1 ..., p_n) !$ o vetor de preços, todos estritamente positivos, seja !$ r > 0 !$ a renda do consumidor e !$ \bar{u} !$ um nível de utilidade. Denote por !$ x(p,r) !$ o vetor de demandas marshallianas dos n bens sob o vetor de preços !$ p !$ e renda !$ r !$, por !$ ν(p.r) !$ a utilidade indireta sob o vetor de preços !$ p !$ e renda !$ r !$, por !$ e(p, \bar{u}) !$ a função dispêndio sob o vetor de preços !$ p !$ e nível de utilidade !$ \bar{u} !$ e por !$ h(p, \bar{u}) !$ o vetor de demandas hicksianas dos n bens sob o vetor de preços !$ p !$ e nível de utilidade !$ \bar{u} !$. Julgue o item a seguir como certo ou errado:

Item 1 - !$ e(p, ν(p,r))=r !$.

Seja !$ p=(p_1 ..., p_n) !$ o vetor de preços, todos estritamente positivos, seja !$ r > 0 !$ a renda do consumidor e !$ \bar{u} !$ um nível de utilidade. Denote por !$ x(p,r) !$ o vetor de demandas marshallianas dos n bens sob o vetor de preços !$ p !$ e renda !$ r !$, por !$ ν(p.r) !$ a utilidade indireta sob o vetor de preços !$ p !$ e renda !$ r !$, por !$ e(p, \bar{u}) !$ a função dispêndio sob o vetor de preços !$ p !$ e nível de utilidade !$ \bar{u} !$ e por !$ h(p, \bar{u}) !$ o vetor de demandas hicksianas dos n bens sob o vetor de preços !$ p !$ e nível de utilidade !$ \bar{u} !$. Julgue o item a seguir como certo ou errado:

Item 0 - !$ x(p,r)=h(p,ν(p,r)) !$.