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Considere o seguinte modelo auto-regressivo de ordem 1, em que ∈t caracteriza o processo conhecido como ruído branco de média zero e variância !$ \mathrm{\,\sigma^2} !$:
yt = θyt −1 + εt
Sabendo que a série yt é estacionária e que !$ \theta = {1 - r \over r - 2} !$, sendo r um número real, tem-se que
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Seja a função densidade de probabilidade conjunta de (X, Y) dada por
!$ f(x,y) = {1 \over 2} \mbox{ se } 0 \le x \le 1 \mbox { e } 0 \le y \le 2 !$
!$ f(x,y) = 0 !$ !$ \mathrm{caso \, contr \acute a rio} !$
A função distribuição no ponto !$ \mathrm{(\,{1\,\over\,4},\,1)} !$ é igual a
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Seja X uma variável aleatória discreta com distribuição geométrica de parâmetro p, média igual a 4 e com a função de probabilidade definida como P(X = K) = p(1 − p)K − 1, K = 1, 2, 3, ... . Então P(X = 2) é igual a
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A técnica da análise multivariada empregada para descobrir as características que distinguem os membros de um grupo dos de outro, de modo que, conhecidas as características de um novo indivíduo, se possa prever a que grupo pertence, é a análise
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O modelo a seguir corresponde a uma série temporal em que ε t é o ruído branco de média zero e variância !$ \mathrm{\,\sigma^2} !$:
Y t = 2 + ε t + 0,4 ε t − 1
A média e a variância do processo são, respectivamente,
Y t = 2 + ε t + 0,4 ε t − 1
A média e a variância do processo são, respectivamente,
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Instruções: Para responder a questão, considere as informações abaixo, referentes ao modelo de regressão linear simples Yi = α + βXi + εi, em que α e β são parâmetros desconhecidos e εi é o erro aleatório na observação i, com as respectivas hipóteses consideradas para o modelo de regressão linear simples:
a) Utilizou-se para obtenção das estimativas de α e β o método dos mínimos quadrados, com base em uma amostra de 10 pares de observações (Xi, Yi) i = 1, 2, 3, ... 10. A estimativa encontrada para β foi de 1,5.
b) !$ \mathrm{\,\sum\limits^{10}_{i\,=\,1}\,X_i\,=\,80} !$, !$ \mathrm{\,\sum\limits^{10}_{i\,=\,1}\,Y_i\,=\,200} !$, !$ \mathrm{\,\sum\limits^{10}_{i\,=\,1}\,(\,\hat{y}_i\,-\,\overline{y})^2\,=\,280} !$ e !$ \mathrm{\,\sum\limits^{10}_{i\,=\,1}\,(\,{y}_i\,-\,\overline{y})^2\,=320} !$ em que !$ \hat{y}_i !$ é o valor da previsão de !$ \mathrm{Y} !$, obtido pela equação da reta de mínimos quadrados para a observação !$ \mathrm{X_i} !$ e !$ \mathrm{\,\overline{Y}\,} !$a média aritmética dos valores de !$ \mathrm{Y_i} !$.
b) !$ \mathrm{\,\sum\limits^{10}_{i\,=\,1}\,X_i\,=\,80} !$, !$ \mathrm{\,\sum\limits^{10}_{i\,=\,1}\,Y_i\,=\,200} !$, !$ \mathrm{\,\sum\limits^{10}_{i\,=\,1}\,(\,\hat{y}_i\,-\,\overline{y})^2\,=\,280} !$ e !$ \mathrm{\,\sum\limits^{10}_{i\,=\,1}\,(\,{y}_i\,-\,\overline{y})^2\,=320} !$ em que !$ \hat{y}_i !$ é o valor da previsão de !$ \mathrm{Y} !$, obtido pela equação da reta de mínimos quadrados para a observação !$ \mathrm{X_i} !$ e !$ \mathrm{\,\overline{Y}\,} !$a média aritmética dos valores de !$ \mathrm{Y_i} !$.
Utilizando a equação da reta obtida pelo método dos mínimos quadrados, tem-se, para um determinado valor de X, uma previsão para Y de um valor igual a 173. Então, neste caso, X é igual a
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Instruções: Para responder a questão, considere as informações abaixo, referentes ao modelo de regressão linear simples Yi = α + βXi + εi, em que α e β são parâmetros desconhecidos e εi é o erro aleatório na observação i, com as respectivas hipóteses consideradas para o modelo de regressão linear simples:
a) Utilizou-se para obtenção das estimativas de α e β o método dos mínimos quadrados, com base em uma amostra de 10 pares de observações (Xi, Yi) i = 1, 2, 3, ... 10. A estimativa encontrada para β foi de 1,5.
b) !$ \mathrm{\,\sum\limits^{10}_{i\,=\,1}\,X_i\,=\,80} !$, !$ \mathrm{\,\sum\limits^{10}_{i\,=\,1}\,Y_i\,=\,200} !$, !$ \mathrm{\,\sum\limits^{10}_{i\,=\,1}\,(\,\hat{y}_i\,-\,\overline{y})^2\,=\,280} !$ e !$ \mathrm{\,\sum\limits^{10}_{i\,=\,1}\,(\,{y}_i\,-\,\overline{y})^2\,=320} !$ em que !$ \hat{y}_i !$ é o valor da previsão de !$ \mathrm{Y} !$, obtido pela equação da reta de mínimos quadrados para a observação !$ \mathrm{X_i} !$ e !$ \mathrm{\,\overline{Y}\,} !$a média aritmética dos valores de !$ \mathrm{Y_i} !$.
b) !$ \mathrm{\,\sum\limits^{10}_{i\,=\,1}\,X_i\,=\,80} !$, !$ \mathrm{\,\sum\limits^{10}_{i\,=\,1}\,Y_i\,=\,200} !$, !$ \mathrm{\,\sum\limits^{10}_{i\,=\,1}\,(\,\hat{y}_i\,-\,\overline{y})^2\,=\,280} !$ e !$ \mathrm{\,\sum\limits^{10}_{i\,=\,1}\,(\,{y}_i\,-\,\overline{y})^2\,=320} !$ em que !$ \hat{y}_i !$ é o valor da previsão de !$ \mathrm{Y} !$, obtido pela equação da reta de mínimos quadrados para a observação !$ \mathrm{X_i} !$ e !$ \mathrm{\,\overline{Y}\,} !$a média aritmética dos valores de !$ \mathrm{Y_i} !$.
O valor da estimativa do parâmetro !$ \alpha !$ é igual a
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Instruções: Para responder a questão, considere as informações abaixo, referentes ao modelo de regressão linear simples Yi = α + βXi + εi, em que α e β são parâmetros desconhecidos e εi é o erro aleatório na observação i, com as respectivas hipóteses consideradas para o modelo de regressão linear simples:
a) Utilizou-se para obtenção das estimativas de α e β o método dos mínimos quadrados, com base em uma amostra de 10 pares de observações (Xi, Yi) i = 1, 2, 3, ... 10. A estimativa encontrada para β foi de 1,5.
b) !$ \mathrm{\,\sum\limits^{10}_{i\,=\,1}\,X_i\,=\,80} !$, !$ \mathrm{\,\sum\limits^{10}_{i\,=\,1}\,Y_i\,=\,200} !$, !$ \mathrm{\,\sum\limits^{10}_{i\,=\,1}\,(\,\hat{y}_i\,-\,\overline{y})^2\,=\,280} !$ e !$ \mathrm{\,\sum\limits^{10}_{i\,=\,1}\,(\,{y}_i\,-\,\overline{y})^2\,=320} !$ em que !$ \hat{y}_i !$ é o valor da previsão de !$ \mathrm{Y} !$, obtido pela equação da reta de mínimos quadrados para a observação !$ \mathrm{X_i} !$ e !$ \mathrm{\,\overline{Y}\,} !$a média aritmética dos valores de !$ \mathrm{Y_i} !$.
b) !$ \mathrm{\,\sum\limits^{10}_{i\,=\,1}\,X_i\,=\,80} !$, !$ \mathrm{\,\sum\limits^{10}_{i\,=\,1}\,Y_i\,=\,200} !$, !$ \mathrm{\,\sum\limits^{10}_{i\,=\,1}\,(\,\hat{y}_i\,-\,\overline{y})^2\,=\,280} !$ e !$ \mathrm{\,\sum\limits^{10}_{i\,=\,1}\,(\,{y}_i\,-\,\overline{y})^2\,=320} !$ em que !$ \hat{y}_i !$ é o valor da previsão de !$ \mathrm{Y} !$, obtido pela equação da reta de mínimos quadrados para a observação !$ \mathrm{X_i} !$ e !$ \mathrm{\,\overline{Y}\,} !$a média aritmética dos valores de !$ \mathrm{Y_i} !$.
Para testar a existência da regressão, o valor da estatística F (F calculado) utilizado para comparação com o F tabelado (variável F de Snedecor com m graus de liberdade no numerador e n graus de liberdade no denominador, ao nível de significância !$ \alpha !$) é igual a
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A tabela abaixo corresponde ao resultado de um concurso aplicado a 100 pessoas. Foram formados dois grupos (A e B) com 50 pessoas cada um. O grupo A recebeu um treinamento para participar do concurso e o grupo B não.
| Grupos | Aprovados no concurso | Não aprovados no concurso | Total |
| A | 35 | 15 | 50 |
| B | 25 | 25 | 50 |
| Total | 60 | 40 | 100 |
Deseja-se saber se o resultado do concurso depende do treinamento utilizando o teste qui-quadrado ao nível de significância de 5%.
Dados: Valores críticos da distribuição qui-quadrado [P (qui-quadrado com n graus de liberdade < valor tabelado) = 1 − !$ \mathrm{\alpha} !$]
| Graus de liberdade | (1 − !$ \mathrm{\alpha} !$) = 90% | (1 − !$ \mathrm{\alpha} !$) = 95% |
| 1 2 3 4 | 2,706 4,605 6,251 7,779 | 3,841 5,991 7,845 9,488 |
O valor do qui-quadrado observado e a respectiva conclusão é
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Um teste não-paramétrico adequado para decidir se 10 amostras independentes provêm de populações diferentes, com a suposição que a variável em estudo tenha distribuição inerente contínua com mensuração no mínimo ao nível ordinal, é o Teste
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