Seja X uma variável aleatória com distribuição beta com função densidade

!$ f_x(x)= \begin{cases}3x^2 \quad \,se\, 0< x<1 \\ 0 \, \text{caso contrário} \end{cases} !$

Considere a distribuição Y ~ U (0,1) , onde U (0,1) é uma distribuição uniforme padrão, e o interesse é na simulação de observações da variável aleatória X, pelo método de aceitação/rejeição. Com essa finalidade, foram obtidos os seguintes pares de números pseudoaleatórios das variáveis Y e U:

Os dois valores aceitos como observações de X, considerando os cinco pares de valores obtidos, são:

Quanto às técnicas de amostragem,

Para responder a questão., considere as informações abaixo.

Considerando uma amostra aleatória de n pares de valores de duas variáveis, X_i e Y_i, com i = 1, 2, ..., n e admitindo-se que Y é função linear de X, pode-se estabelecer uma regressão linear simples da forma Y_i = β_o + β₁X_i + e_i , onde β_o e β₁ são parâmetros desconhecidos, X é a variável independente e Y é a variável dependente. O erro e_i é uma série de valores independentes e identicamente distribuídos com e_i ~N(0,σ²) .

Considere uma amostra aleatória de 10 pares de valores de duas variáveis, X_i e Y_i, com i = 1,2, ..., 10.

Dado que !$ \sum_{i=1}^{10} x_i=120 !$, !$ \sum_{i=1}^{10} y_i=2000 !$; !$ \sum_{i=1}^{10} x^2_i=1490 !$; !$ \sum_{i=1}^{10} y^2_i=403300 !$ e !$ \sum_{i=1}^{10} xy=24330 !$

A estimação dos parâmetros !$ \hat{\beta}_0 !$ e !$ \hat{\beta}_1 !$ pelo método dos mínimos quadrados fornece, respectivamente, os valores

Para responder a questão., considere as informações abaixo.

Considerando uma amostra aleatória de n pares de valores de duas variáveis, X_i e Y_i, com i = 1, 2, ..., n e admitindo-se que Y é função linear de X, pode-se estabelecer uma regressão linear simples da forma Y_i = β_o + β₁X_i + e_i , onde β_o e β₁ são parâmetros desconhecidos, X é a variável independente e Y é a variável dependente. O erro e_i é uma série de valores independentes e identicamente distribuídos com e_i ~N(0,σ²) .

Se para uma amostra aleatória de 100 pares de valores referentes a um estudo específico o intervalo de confiança de 95% calculado para β₁ é dado por [−1,2;1,8] e considerando o nível de significância de 5%, então

Quanto aos testes não paramétricos, é correto afirmar

Uma indústria produz um equipamento eletrônico cuja duração de vida (X), em horas, é normalmente distribuída com média μ e variância populacional (σ²) desconhecida. Uma amostra aleatória, com reposição, de 25 equipamentos foi extraída da população de equipamentos obtendo-se para essa amostra uma duração de vida média igual a 1.008 horas e variância igual a 256 (horas)². Deseja-se testar a hipótese H₀: μ = 1.000 horas (hipótese nula) contra H₁: μ ≠ 1.000 horas (hipótese alternativa) com base nos dados da amostra e utilizando o teste t de Student. O valor da estatística t (t calculado) utilizado para a tomada de decisão, a um determinado nível de significância α, é igual a

Acredita-se que em uma cidade mais da metade de seus eleitores são favoráveis à eleição de um candidato X. Para testar se isso é verdadeiro, extrai-se uma amostra aleatória de 4 eleitores, com reposição, estabelecendo que se nessa amostra mais que 2 eleitores forem favoráveis a X, então procede que mais da metade são favoráveis a X. Se p é a proporção de eleitores favoráveis a X e estabelecendo as hipóteses H₀: p = 0,5 (hipótese nula) e H₁: p > 0,5 (hipótese alternativa), então o nível de significância do teste é igual a

Um fabricante de um equipamento admite que o tempo de funcionamento (T) desse equipamento, em horas, sem apresentar falhas obedece a uma lei exponencial com função densidade dada por f(t) = λe^-λt, se t > 0 e que f(t) = 0, caso contrário. Utilizando o método da máxima verossimilhança, ele obteve a estimativa pontual do parâmetro λ com base nas informações obtidas do tempo de funcionamento de 500 equipamentos selecionados aleatoriamente de sua produção. O quadro abaixo fornece os resultados obtidos.

A estimativa pontual do parâmetro λ obtida pelo fabricante foi, então, de

Dois estimadores E₁ e E₂, não viesados, são utilizados para estimar a média μ de uma população normalmente distribuída apresentando uma variância unitária. Sejam E₁ = mX + (m + n)Y − Z e E₂ = mX + (m − n)Y − nZ os dois estimadores em que m e n são parâmetros reais e (X, Y, Z) uma amostra aleatória de tamanho 3 extraída da população, com reposição. A variância (V) do estimador mais eficiente, entre E₁ e E₂, é tal que

A função densidade de probabilidade de uma variável aleatória X é dada por f(x) = kx para x pertencente ao intervalo (0, 4) e f(x) = 0, caso contrário. Sabendo-se que k é uma constante real não nula e que U é uma outra variável aleatória tal que U = 2X + 4, tem-se que a probabilidade P(U > 8) é igual a