Um professor de Matemática propõe uma atividade prática sobre educação financeira. Ele apresenta a seguinte situação: um investidor aplica um capital de R$ 10.000,00 por um período de 2 anos. O banco oferece duas modalidades de investimento:

1. Modalidade A: juros simples de 10% ao ano.
2. Modalidade B: juros compostos de 10% ao ano, com capitalização anual.

Ao final do período de 2 anos, qual será a diferença (em R$) entre o montante obtido na Modalidade B e o montante obtido na Modalidade A?

Em uma turma de 40 alunos de um curso técnico, a nota mínima para aprovação é 60 pontos. Após a primeira avaliação, a média dos alunos aprovados foi 75 pontos, a média dos alunos reprovados foi 45 pontos, e a média geral da turma foi 60 pontos. Após a revisão da prova, o professor atribuiu 10 pontos extras a todos os alunos. Com isso, a média dos alunos que permaneceram reprovados passou a ser 55 pontos, e a média dos alunos que ficaram aprovados (incluindo os novos aprovados) passou a ser 80 pontos. Com base nessas informações, quantos alunos inicialmente reprovados passaram a ser aprovados após a bonificação?

Um professor de Matemática propõe aos seus alunos a análise do seguinte sistema de equações lineares, dependente do parâmetro real \( m \):

\( \begin{cases} 2x + 3y = 5 \\ 4x + my = 10 \end{cases} \)

Durante a análise, um estudante observa que a segunda equação pode ser obtida multiplicando a primeira por 2, desde que \( m \) = 6. Com base nessa observação, assinale a alternativa que apresenta corretamente a classificação do sistema para \( m \) = 6 e sua interpretação geométrica no plano cartesiano.

A interseção entre um plano e um sólido geométrico pode gerar diferentes figuras planas, dependendo da posição e da inclinação do plano. Considere um cubo no espaço. Um plano o intercepta de modo que a interseção forme um polígono. Qual é o número máximo de lados que esse polígono pode possuir?

Em uma circunferência de centro O e raio r, dois pontos, A e B, são escolhidos de tal forma que o segmento AB é uma corda da circunferência. Um ponto P é tomado sobre o prolongamento da corda AB, a partir de B, tal que o segmento PB tem comprimento igual a r. A partir do ponto P, traça-se uma reta tangente à circunferência no ponto T, como ilustra a figura a seguir:

Sabendo que o comprimento da corda AB é igual a r, qual é a medida do segmento tangente PT?

Sejam \( A \) e \( B \) matrizes quadradas de ordem 3, com det(\( A \))=2. A matriz \( B \) é definida por

\( B \) = 3\( A \)^{\( T \)} ⋅ \( A \)⁻¹

em que \( A \)^{\( T \)} é a transposta da matriz \( A \), e \( A \)⁻¹ é a inversa de \( A \). Com base nas propriedades dos determinantes, qual é o valor de det(\( B \))?

Durante uma aula sobre curvas cônicas, um professor apresentou a seguinte equação matricial:

\( X \cdot A \cdot X^T = 144, \text{ com } X = \begin{bmatrix} x & y \end{bmatrix} \text{ e } A = \begin{bmatrix} 16 & 0 \\ 0 & 9 \end{bmatrix} \)

Ao resolvê-la, um estudante afirmou: “Essa equação representa uma circunferência de raio 12, pois o resultado final é 144, que é 12²”. Diante dessa situação, qual das seguintes intervenções do professor é mais adequada do ponto de vista pedagógico?

Em um jogo, 8 fichas numeradas de 1 a 8 são colocadas em uma urna. Um jogador retira, sem reposição, 3 fichas ao acaso. O jogador vence se o produto dos números sorteados for par. Qual é a probabilidade de que esse jogador vença?

Durante uma aula no 3º ano do Ensino Médio, um professor propõe a análise da seguinte equação:

\( x \)³ − 6\( x \)² + 11\( x \) − 6 = 0

Um estudante, ao observar os coeficientes, utiliza corretamente as Relações de Girard e afirma que a soma das raízes é 6 e o produto também é 6. Em seguida, outro estudante questiona: “É possível determinar se as raízes são reais ou complexas sem resolver a equação explicitamente?”. O professor decide explorar essa dúvida como oportunidade para aprofundar a compreensão dos estudantes sobre as propriedades dos polinômios. Considerando os aspectos matemáticos envolvidos e o potencial pedagógico da situação, analise as assertivas a seguir:

I. Se um polinômio de grau \( n \) com coeficientes reais possui uma raiz complexa \( z \) = \( a \) + \( b \)\( i \) ( \( b \) ≠ 0), então seu conjugado \( \overline{z} \)= \( a \) − \( b \)\( i \) também é obrigatoriamente raiz do polinômio.

II. Para a equação \( x \)³ − 6\( x \)² + 11\( x \) − 6 = 0, as Relações de Girard permitem concluir que, se as raízes estiverem em progressão aritmética, a raiz central será necessariamente igual a 2.

III. O Teorema Fundamental da Álgebra garante que um polinômio de grau \( n \) ≥ 1 possui exatamente \( n \) raízes reais, contando multiplicidades.

IV. De acordo com o Teorema das Raízes Racionais, se o polinômio \( P \)(\( x \)) \( x \)³ - 6\( x \)² + 11\( x \) − 6 possuir raízes racionais, elas pertencerão obrigatoriamente ao conjunto {−6, −3, −2, −1, 1, 2, 3, 6}.

Quais estão corretas?

Considere a função real f(x) = x² e assinale a alternativa que representa a função g(x) cujo gráfico é obtido a partir do gráfico de f(x) pelas seguintes transformações, nesta ordem:

1. Translação horizontal de 3 unidades para a direita.

2. Reflexão em torno do eixo X.

3. Translação vertical de 2 unidades para cima.