Um professor de matemática, após concluir sua aula sobre os números complexos, recebeu um questionamento curioso.

O aluno pediu uma explicação a respeito da seguinte igualdade:

!$ -1 \, = \, i \, \cdot \, i \, = \, \sqrt{-1} \, \cdot \, \sqrt{-1} \, = \, \sqrt{(-1) \cdot (-1)} \, = \, \sqrt{1} \, = \, 1, !$

que para ele se tratava de um paradoxo. O professor, visando explicar onde estava o erro na igualdade apresentada, dividiu em afirmativas (descritas abaixo) cada etapa do processo percorrido pelo aluno.

I - !$ -1 \, = \, i \, \cdot \, i !$

II - !$ i \, \cdot \, i \, = \, \sqrt{-1} \, \cdot \, \sqrt{-1} !$

III - !$ \sqrt{-1} \, \cdot \, \sqrt{-1} \, = \, \sqrt{(-1) \, \cdot \, (-1)} !$

IV - !$ \sqrt{(-1) \, \cdot \, (-1)} \, = \, \sqrt{1} !$

V - !$ \sqrt{1} \, = \, 1 !$

Analise as afirmativas a seguir referentes às etapas que o aluno percorreu para obter a igualdade.

A solução geral da EDO linear !$ \dfrac {dy} {dt} \, + \, 2y \, = \, e^t !$ é igual a:

Seja !$ v \, = \, (a,b), !$ com a,b !$ \in \, \mathbb{R}, !$ um vetor do !$ \mathbb{R}^2. !$ Considere que foram realizadas as sucessivas transformações de reflexão em relação ao eixo !$ x, !$ reflexão em relação ao eixo !$ y, !$ contração na direção !$ x !$ de fator igual a 3/4 unidades e rotação de 45° no sentido anti-horário, no vetor !$ v. !$

Após realizadas essas sucessivas transformações, a nova coordenada do vetor !$ v !$ será:

Considere o operador !$ A:\mathbb{R}^3 \, \rightarrow \, \mathbb{R}^2 !$ definido por !$ A(x,y,z) \, = \, (x - y - z, 2z - x). !$

Analise as afirmativas a seguir.

I - A é um operador linear.

II - A é uma transformação linear.

III - Ker(A)={0}, onde Ker(A) é o núcleo de A.

IV - dim (Im(A^t )) = 2.

V - Uma base para Im(A) é {(1,-1),(-1,0)}.

Estão CORRETAS as afirmativas:

Analise as afirmativas a seguir.

I. O conjunto !$ X \, \subset \, \mathbb{R}^3 !$ formado pelos vetores !$ v \, = \, (x, \, y, \, z) !$ tais que !$ z \, = \, 3x !$ e !$ x \, = \, 2y !$ é um subespaço vetorial.

II. O conjunto !$ S_1 \, = \, \{(0,1,0,1,0), \, (1,0,1,0,1)\} !$ forma uma base para o espaço vetorial. !$ W \, = \, \{(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5) \, \in \, \mathbb{R}^5 \, \mid \, x_2 \, - \, x_3 \, + \, x_5 \, = \, 0 !$ e !$ x_1 \, - \, x_4 \, = \, 0\} !$ e assim dim(W) = 2.

III. O conjunto !$ S_2 \, = \, \{ v_1,v_2,v_3\}, !$ onde !$ v_1 \, = \, (1,0, -1), \, v_2 \, = \, (2,-1,1), \, v_3 \, = \, (-3,2,1), !$ é uma base para o espaço vetorial !$ \mathbb{R}^3. !$

IV. Os polinômios !$ p_1 \, = \, 1 \, - \, x, \, p_2 \, = \, 5 \, + \, 3x \, - \, 2x^2 !$ e !$ p_3 \, = \, 1 \, +\, 3x - x^2 !$ são linearmente dependentes.

V. A transformação linear !$ T(x,y,z) \, = \, (x + y + z, 2x + 4y + 8z, 5x + 7y + 11z) não é injetiva. !$

Estão CORRETAS as afirmativas:

A área da região limitada pelo gráfico de !$ \varphi (x) \, = \, x^2 \, \sqrt{x \, + \, 2}, !$ pelo eixo x e pela reta !$ x \, = \, 1, !$ é igual a:

A integral !$ \int \, \dfrac {x-3} {x^2-4x-5} \, dx !$ é igual a:

Considere um sólido que possui a forma de um prisma reto de altura !$ h !$ e base hexagonal regular com aresta medindo !$ \ell !$. Sabendo que a área da superfície (área total) deve ser igual a 12!$ \sqrt{3} !$, assinale a alternativa que apresenta os valores de !$ \ell !$ e !$ h !$ para que o volume do sólido seja máximo.

Seja a função g: !$ \mathbb{R} \, \rightarrow \, \mathbb{R} !$ definida por !$ g(\times) \, = \, \begin {cases} \dfrac {x^3 \, +1} {x} \,\, se \,\, x \,\, \ne \,\, 0 \\ \,\,\,\,\, 3 \,\,\,\,\, se \,\, x \,\, = \,\, 0 \end {cases}. !$

Analista as afirmativas a seguir.

I. A função g(x) é contínua no ponto x = 0.

II. No intervalo !$ ] \dfrac {1} {2}, \, 2[ !$ a função g(x) admite ponto mínimo em !$ \begin {pmatrix} \dfrac { \sqrt[3]{4}} {2}\, , \, \dfrac {3\sqrt[3]{2}} {2} \end {pmatrix}. !$

III. !$ lim \\ x \rightarrow 0 !$ !$ g(x) \, = \, \infty. !$

IV. Dado !$ x_0 \, \ne \, 0, !$ temos que a equação da reta tangente ao ponto !$ (x_0, g(x_0)) !$ é !$ y \, = \, 2x_0x \, - \, x^2_0 \, + \, \dfrac {2} {x_0} \, - \, \dfrac {x} {x^2_0}. !$

V. !$ lim \\ x \, \rightarrow \, 0 !$ !$ g'(x) \, = \, \infty. !$

Estão CORRETAS as afirmativas:

Considere a função !$ f \, : \, \mathbb{R} \, - \, {9} \, \rightarrow \, \mathbb{R}, !$ definida por:

!$ f(x) \, = \, \dfrac {6x \, - \, 2x \sqrt{x} \, + \, 2 \sqrt{x} \, - \, 6} { x \, - \, 9} !$

Assinale a alternativa que apresenta o valor do !$ lim \\ x \, \rightarrow \, 9 !$ f(x).